background image

Corollary 21.

If

A

i

are complete lattices then

A

is a complete lattice.

Proposition 22.

If each

A

i

is a separable poset with least element (for some index set

n

) then

Q

A

is a separable poset.

Proof.

Let

a

b

. Then

i

dom

A

:

a

i

b

i

. So

x

A

i

: (

x

a

i

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

= (((

dom

A

)

\ {

i

}

)

× {

0

}

)

∪ {

(

i

;

x

)

}

. Then

y

a

and

y

b

.

Obvious 23.

If every

A

i

is a poset with least element

0

i

, then the set of atoms of

Q

A

is

{

(

{

k

} ×

atoms

A

k

)

(

λi

(

dom

A

)

\ {

k

}

: 0

i

)

|

k

dom

A

}

.

Proposition 24.

If every

A

i

is an atomistic poset with least element

0

i

, then

Q

A

is an atomistic

poset.

Proof.

x

i

=

F

atoms

x

i

for every

x

i

A

i

. Thus

x

=

λi

dom

x

:

x

i

=

G

i

dom

x

atoms

x

i

=

G

i

dom

x

λj

dom

x

:

x

i

if

j

=

i

0

i

if

j

i.

Take join two times.

Corollary 25.

If

A

i

are atomistic complete lattices, then

Q

A

is atomically separable.

Proof.

Proposition 14 in [4].

Proposition 26.

Let

(

A

i

n

;

Z

i

n

)

is a family of filtrators. Then

(

Q

A

;

Q

Z

)

is a filtrator.

Proof.

We need to prove that

Q

Z

is a sub-poset of

Q

A

. First

Q

Z

Q

A

because

Z

i

A

i

for each

i

n

.

Let

A, B

Q

Z

and

A

Q

Z

B

. Then

i

n

:

A

i

Z

i

B

i

; consequently

i

n

:

A

i

A

i

B

i

that is

A

Q

A

B

.

Proposition 27.

Let

(

A

i

n

;

Z

i

n

)

is a family of filtrators.

1. The filtrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

is (finitely) join-closed if every

(

A

i

;

Z

i

)

is (finitely) join-closed.

2. The filtrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

is (finitely) meet-closed if every

(

A

i

;

Z

i

)

is (finitely) meet-closed.

Proof.

Let every

(

A

i

;

Z

i

)

is finitely join-closed. Let

A, B

Q

Z

. Then

A

Q

Z

B

=

λ

n

:

A

i

Z

i

B

i

=

λ

n

:

A

i

A

i

B

i

=

A

Q

A

B

.

Let now every

(

A

i

;

Z

i

)

is finitely join-closed. Let

S

P

Q

Z

. Then

F

Q

Z

S

=

λi

dom

A

:

F

Z

i

{

x

i

|

x

S

}

=

λi

dom

A

:

F

A

i

{

x

i

|

x

S

}

=

F

Q

A

S

.

The rest follows from symmetry.

Proposition 28.

If each

(

A

i

;

Z

i

)

where

i

n

(for some index set

n

) is a down-aligned filtrator with

separable core (for some index set

n

) then

(

Q

A

;

Q

Z

)

is with separable core.

Proof.

Let

a

b

. Then

i

n

:

a

i

b

i

. So

x

Z

i

: (

x

a

i

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

= ((

n

\ {

i

}

)

× {

0

}

)

∪ {

(

i

;

x

)

}

. Then we have

y

a

and

y

b

and

y

Z

.

Proposition 29.

Let every

A

i

is a bounded lattice. Every

(

A

i

;

Z

i

)

is a central filtrator iff

(

Q

A

;

Q

Z

)

is a central filtrator.

Proof.

x

Z

(

Q

A

)

⇔ ∃

y

Q

A

:

x

y

= 0

Q

A

x

y

= 1

Q

A

⇔ ∃

y

Q

A

i

dom

A

:

(

x

i

y

i

= 0

A

i

x

i

y

i

= 1

A

i

)

⇔ ∀

i

dom

A

y

A

i

: (

x

i

y

i

= 0

A

i

x

i

y

i

= 1

A

i

)

⇔ ∀

i

dom

A

:

x

i

Z

(

A

i

)

.

Proposition 30.

For every element

a

of a product filtrator

(

Q

A

;

Q

Z

)

:

1. up

a

=

Q

i

dom

a

up

a

i

;

4

Section 4