background image

17 Counter-examples

Example 188.

f

f

for some staroid

f

whose form is a family of filters on a set.

Proof.

Let GR

f

=

{A ∈

F

(

)

| ↑

Cor

A

}

for some infinite set

where

is some non-principal

f.o. on

.

A

B

GR

f

⇔ ↑

Cor

(

A

B

)

⇔ ↑

Cor

A

⊔ ↑

Cor

B

(

Cor

A

Cor

B

)

0

F

(

)

Cor

A

0

F

(

)

∨ ↑

Base

(

B

)

Cor

B

0

F

(

)

A

f

B

f

.

Obviously

0

F

(

)

GR

f

. So

f

is a free star. But free stars ere essentially the same as

1

-staroids.

GR

f

=

. GR

f

=

f

.

For the below counter-examples we will define a staroid

ϑ

with arity

ϑ

=

N

and GR

ϑ

P

(

N

N

)

(based on a suggestion by Andreas Blass):

A

GR

ϑ

sup

i

N

card

(

A

i

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

i

.

Proposition 189.

ϑ

is a staroid.

Proof.

(

val

ϑ

)

i

L

=

P

N

\ {∅}

for every

L

(

P

N

)

N

\{

i

}

if

i

N

:

L

i

. Otherwise

(

val

ϑ

)

i

L

=

.

Thus

(

val

ϑ

)

i

L

is a free star. So

ϑ

is a staroid.

Proposition 190.

ϑ

is a completary staroid.

Proof.

A

0

A

1

GR

ϑ

A

0

A

1

GR

ϑ

sup

i

N

card

((

A

0

i

A

1

i

)

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

∅ ⇔

sup

i

N

card

((

A

0

i

i

)

(

A

1

i

i

)) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

.

If

A

0

i

=

then

A

0

i

i

=

and thus

A

1

i

i

A

0

i

i

. Thus we can select

c

(

i

) = 1

in such a way

that

d

∈ {

0

,

1

}

:

card

(

A

c

(

i

)

i

)

card

(

A

d

i

)

and

A

c

(

i

)

i

. (Consider the case

A

0

i, A

1

i

and

the similar cases

A

0

i

=

and

A

1

i

=

.)

So

A

0

A

1

f

sup

i

N

card

(

A

c

(

i

)

i

i

) =

N

A

c

(

i

)

i

∅ ⇔

(

λi

n

:

A

c

(

i

)

i

)

ϑ

.

Thus

ϑ

is completary.

Obvious 191.

ϑ

is non-zero.

Example 192.

For every family

a

=

a

i

N

of atomic f.o.

Q

a

is not an atom nor of the poset of

staroids neither of the poset of completary staroids of the form

λi

N

:

Base

(

a

i

)

.

Proof.

It’s enough to prove

ϑ

+

Q

a

.

Let

N

R

i

=

a

i

is

a

i

is principal and

R

i

=

N

\

i

if

a

i

is non-principal.

We have

i

N

:

R

i

a

i

.

We have

R

ϑ

because sup

i

N

card

(

R

i

i

) = 0

.

R

Q

a

because

X

a

i

:

X

R

i

.

So

ϑ

+

Q

a

.

Remark

193.

At http://mathoverflow.net/questions/60925/special-infinitary-relations-and-

ultrafilters there are a proof for arbitary infinite form, not just for

N

.

Conjecture 194.

There exists a non-completary staroid.

Conjecture 195.

There exists a pre-staroid which is not a staroid.

Conjecture 196.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomic.

Conjecture 197.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomistic.

Conjecture 198.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomic.

Conjecture 199.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is

atomistic.

Counter-examples

31