 (Here by definition

λx

D

:

F

(

x

) =

{

(

x

;

F

(

x

))

|

x

D

}

.)

The meaning of the set

M

is an extension of

C

having as morphisms things with arbitrary

(possibly infinite) indexed set Obj

m

of objects, not just two objects as morphisms of

C

have only

source and destination.

Definition 113.

I will call Obj

m

the

form

of the star-morphism

m

.

(Having fixed a pre-category with star-morphisms) I will denote StarHom

(

P

)

the set of star-

morphisms of the form

P

.

Proposition 114.

The sets StarHom

(

P

)

are disjoint (for different

P

).

Proof.

If two star-morphisms have different forms, they are clearly not equal.

Definition 115.

A

category with star-morphisms

is a pre-category with star-morphisms whose

base is a category and the following equality (

the law of composition with identity

) holds for every

multimorphism

m

:

StarComp

(

m

;

λi

arity

m

:

id

Obj

m

i

) =

m.

Definition 116.

A

partially ordered pre-category with star-morphisms

is a category with star-

morphisms, whose base pre-category is a partially ordered pre-category and every set

{

m

M

|

Obj

m

=

X

}

is partially ordered for every

X

, such that:

1.

m

0

m

1

f

0

f

1

StarComp

(

m

0

;

f

0

)

StarComp

(

m

1

;

f

1

)

for every

m

0

, m

1

M

such that

Obj

m

0

=

Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of morphisms such that

i

arity

m

:

Src

f

0

i

=

Src

f

1

i

=

Obj

m

0

i

=

Obj

m

1

i

and

i

arity

m

:

Dst

f

0

i

=

Dst

f

1

i.

Definition 117.

A

quasi-invertible

pre-category with star-morphisms is a partially ordered pre-

category with star-morphisms whose base pre-category is a quasi-invertible pre-category, such that
for every index set

n

, multimorphisms

a

and

b

of arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of morphisms

of the base pre-category it holds

b

StarComp

(

a

;

f

)

a

StarComp

(

b

;

f

)

.

Definition 118.

A

quasi-invertible

category with star-morphisms is a quasi-invertible pre-category

with star-morphisms which is a quasi-invertible pre-category with star-morphisms.

Each category with star-morphisms gives rise to a category (

abrupt category

, see a remark

below why I call it “abrupt”), as described below. Below for simplicity I assume that the set

M

and the set of our indexed families of functions are disjoint. The general case (when they are not
necessarily disjoint) may be easily elaborated by the reader.

Objects are indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of objects of the category

C

and

an (arbitrarily choosen) object None not in this set

There are the following disjoint sets of morphisms:

1. indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

2. elements of

M

3. the identity morphism id

None

on None

Source and destination of morphisms are defined by the formulas:

Src

f

=

λi

dom

f

:

Src

f

i

;

Dst

f

=

λi

dom

f

:

Dst

f

i

16

Section 10