background image

for every

L

0

, L

1

Q

form

Q

(

D

)

F

that is

L

0

, L

1

Q

uncurry

(

form

F

)

.

Really

L

0

L

1

GR

Q

(

D

)

F

L

0

L

1

∈ {

uncurry

z

|

z

Q

(

GR

F

)

}

.

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

: (

λ i

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR

Q

(

D

)

F

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

:

λ i

arity

Q

(

D

)

F

:

L

c

(

i

)

i

∈ {

uncurry

z

|

z

Q

(

GR

F

)

} ⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

:

curry

λi

arity

Q

(

D

)

F

:

L

c

(

i

)

i

Q

(

GR

F

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

:

curry

λ

(

i

;

j

)

arity

Q

(

D

)

F

:

L

c

(

i

;

j

)

(

i

;

j

)

Q

(

GR

F

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

: (

λi

dom

F

: (

λ j

dom

F

i

:

L

c

(

i

;

j

)

(

i

;

j

)))

Q

(

GR

F

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

arity

Q

(

D

)

F

i

dom

F

: (

λ j

dom

F

i

:

L

c

(

i

;

j

)

(

i

;

j

))

GR

F

i

⇔ ∀

i

dom

F

c

∈ {

0

,

1

}

dom

F

i

: (

λ j

dom

F

i

:

L

c

(

j

)

(

i

;

j

))

GR

F

i

i

dom

F

c

∈ {

0

,

1

}

dom

F

i

: (

λ j

dom

F

i

: (

curry

(

L

c

(

j

)

)

i

)

j

)

GR

F

i

⇔ ∀

i

dom

F

:

(

curry

(

L

0

)

i

curry

(

L

1

)

i

GR

F

i

)

L

0

L

1

∈ {

uncurry

z

|

z

Q

(

GR

F

)

}

.

For staroids it is defined

ordinated product

Q

(

ord

)

as defined in [2].

Obvious 108.

If

f

and

g

are anchored relations and there exists a bijection

ϕ

from arity

g

to

arity

f

such that

{

F

ϕ

|

F

GR

f

}

=

GR

g

, then:

1.

f

is a pre-staroid iff

g

is a pre-staroid.

2.

f

is a staroid iff

g

is a staroid.

3.

f

is a completary staroid iff

g

is a completary staroid.

Corollary 109.

Let

F

is an indexed family of anchored relations and every

(

form

F

)

i

is a join-

semilattice.

1.

Q

(

ord

)

F

is a pre-staroid if every

F

i

is a pre-staroid.

2.

Q

(

ord

)

F

is a staroid if every

F

i

is a staroid.

3.

Q

(

ord

)

F

is a completary staroid if every

F

i

is a completary staroid.

Proof.

Use the fact that GR

Q

(

ord

)

F

=

n

F

(

L

(

dom

F

))

1

|

F

GR

Q

(

D

)

f

o

.

Definition 110.

f

×

(

ord

)

g

=

Q

(

ord

)

J

f

;

g

K

.

Remark 111.

If

f

and

g

are binary funcoids, then

f

×

(

ord

)

g

is ternary.

10 Star categories

Definition 112.

A

pre-category with star-morphisms

consists of

1. a pre-category

C

(

the base pre-category

);

2. a set

M

(

star-morphisms

);

3. a function “arity” defined on

M

(how many objects are connected by this multimorphism);

4. a function Obj

m

:

arity

m

Obj

(

C

)

defined for every

m

M

;

5. a function (

star composition

)

(

m

;

f

)

StarComp

(

m

;

f

)

defined for

m

M

and

f

being an

(

arity

m

)

-indexed family of morphisms of

C

such that

i

arity

m

:

Src

f

i

=

Obj

m

i

(Src

f

i

is

the source object of the morphism

f

i

) such that arity StarComp

(

m

;

f

) =

arity

m

such that it holds:

1. StarComp

(

m

;

f

)

M

;

2. (

associativiy law

)

StarComp

(

StarComp

(

m

;

f

);

g

) =

StarComp

(

m

;

λi

arity

m

:

g

i

f

i

)

.

Star categories

15