 thus

f

=

f

.

Let now

α

is an indexed family of functions

α

i

A

i

(

dom

A

)

\{

i

}

conforming to the formula (4).

Let relation

f

between posets is defined by the formula

L

f

L

i

α

i

L

|

(

dom

L

)

\{

i

}

. Then

(

val

f

)

i

L

=

{

K

A

i

|

K

α

i

L

|

(

dom

L

)

\{

i

}

}

=

K

=

∂α

i

L

|

(

dom

L

)

\{

i

}

and thus

(

val

f

)

i

L

is a core star that is

f

is a pre-staroid. For the indexed family

α

defined by

the formula

α

i

L

=

h

f

i

i

L

we have

∂α

i

L

=

h

f

i

i

L

=

{

K

A

i

|

K

α

i

L

}

=

∂α

i

L

;

thus

α

=

α

.

We have shown that these are bijections.

Theorem 78.

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

Y

)

}

) =

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

∪ h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

for every staroid

f

if

(

form

f

)

j

is a boolean lattice and

i, j

arity

f

.

Proof.

Let

i

arity

f

and

L

Q

k

L

\{

i,j

}

A

k

. Let

Z

A

i

.

Z

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

Y

)

}

)

L

∪ {

(

i

;

X

Y

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

f

X

Y

(

val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

}

)

X

(

val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

} ∨

Y

(

val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

}

)

L

∪ {

(

i

;

X

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

f

L

∪ {

(

i

;

Y

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

f

⇔ ↑

A

i

Z

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

Z

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

Thus

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

Y

)

}

) =

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

∪ h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

.

Let us consider the filtrator

Q

i

arity

f

F

((

form

f

)

i

);

Q

i

arity

f

(

form

f

)

i

.

Theorem 79.

Let

(

A

i

;

Z

i

)

is a family of join-closed down-aligned filtrators filtrators whose both

base and core are join-semilattices. Let

f

is a pre-staroid of the form

Z

. Then

f

is a staroid of

the form

A

.

Proof.

First prove that GR

f

is a pre-staroid. We need to prove that

0

(

GR

f

)

i

(that

is up

0

(

GR

f

)

i

what is true by the theorem conditions) and that for every

X

,

Y ∈

A

i

and

L ∈

Q

i

(

arity

f

)

\{

i

}

A

i

where

i

arity

f

L ∪ {

(

i

;

X ⊔ Y

)

} ∈

GR

f

⇔ L ∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f .

The reverse implication is obvious. Let

L ∪ {

(

i

;

X ⊔ Y

)

} ∈

GR

f

. Then for every

L

∈ L

and

X

∈ X

,

Y

∈ Y

we have and

X

Z

i

Y

⊒ X ⊔

A

i

Y

thus

L

∪ {

(

i

;

X

Z

i

Y

)

} ∈

GR

f

and thus

L

∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f

consequently

L ∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f

.

It is left to prove that

f

is an upper set, but this is obvious.

There is a conjecture similar to the above theorems:

Conjecture 80.

L

[

f

]

[

f

]

Q

i

dom

A

atoms

L

i

for every multifuncoid

f

of the form whose

elements are atomic posets. (Does this conjecture hold for the special case of form whose elements
are posets on filters on a set?)

Conjecture 81.

Let

be a set,

F

be the set of f.o. on

,

P

be the set of principal f.o. on

, let

n

be an index set. Consider the filtrator

(

F

n

;

P

n

)

. Then if

f

is a completary staroid of the form

P

n

, then

f

is a completary staroid of the form

F

n

.

8 Join of multifuncoids

Pre-multifuncoid sketches are ordered by the formula

f

g

⇔ h

f

i ⊑ h

g

i

where

in the right part

of this formula is the product order. I will denote

,

,

d

,

F

(without an index) the order poset

operations on the poset of pre-multifuncoid sketchs.

10

Section 8