background image

Multidimensional Funcoids

by Victor Porton

78640, Shay Agnon 32-29, Ashkelon, Israel

Web:

http://www.mathematics21.org

Abstract

First I define a product of two funcoids. Then I define multifuncoids and staroids as gen-
eralizations of funcoids. Using staroids I define a product of an arbitrary (possibly infinite)
family of funcoids and some other products.

1 Draft status

It is a rough draft.

This article is outdated. Read the book instead.

2 Notation

This article presents a generalization of concepts from [1] and [3].

In this article I will use

to denote order in a poset and

,

to denote meets and joins on a

semilattice. I reserve

,

, and

for set-theoretic supset-relation, intersection, and union.

For a poset

A

I will denote Least

(

A

)

the set of least elements of

A

. (This set always has either

one or zero elements.)

With this notation we do not need the concept of

filter objects

([4]), we will use the standard

set of filters, but the order

on the lattice of filters will be opposite the set theoretic inclusion

of filters.

3 Product of two funcoids

3.1 Lemmas

Lemma 1.

Let

A

,

B

,

C

are sets,

f

FCD

(

A

;

B

)

,

g

FCD

(

B

;

C

)

,

h

FCD

(

A

;

C

)

. Then

g

f

h

g

h

f

1

.

Proof.

See [1].

Lemma 2.

Let

A

,

B

,

C

are sets,

f

RLD

(

A

;

B

)

,

g

RLD

(

B

;

C

)

,

h

RLD

(

A

;

C

)

. Then

g

f

h

g

h

f

1

.

Proof.

See [1].

Lemma 3.

f

(

A ×

FCD

B

) =

A ×

FCD

h

f

iB

for elements

A ∈

A

and

B ∈

B

of some posets

A

,

B

with

least elements and

f

FCD

(

A

;

B

)

.

Proof.

h

f

(

A ×

FCD

B

)

iX

=

h

f

iB

if

X

A

0

if

X ≍ A

=

hA ×

FCD

h

f

iBiX

.

1