 Multidimensional Funcoids

by Victor Porton

78640, Shay Agnon 32-29, Ashkelon, Israel

Web:

http://www.mathematics21.org

Abstract

First I define a product of two funcoids. Then I define multifuncoids and staroids as gen-
eralizations of funcoids. Using staroids I define a product of an arbitrary (possibly infinite)
family of funcoids and some other products.

1 Draft status

It is a rough draft.

This article is outdated. Read the book instead.

2 Notation

This article presents a generalization of concepts from  and .

In this article I will use

to denote order in a poset and

,

to denote meets and joins on a

semilattice. I reserve

,

, and

for set-theoretic supset-relation, intersection, and union.

For a poset

A

I will denote Least

(

A

)

the set of least elements of

A

. (This set always has either

one or zero elements.)

With this notation we do not need the concept of

filter objects

(), we will use the standard

set of filters, but the order

on the lattice of filters will be opposite the set theoretic inclusion

of filters.

3 Product of two funcoids

3.1 Lemmas

Lemma 1.

Let

A

,

B

,

C

are sets,

f

FCD

(

A

;

B

)

,

g

FCD

(

B

;

C

)

,

h

FCD

(

A

;

C

)

. Then

g

f

h

g

h

f

1

.

Proof.

See .

Lemma 2.

Let

A

,

B

,

C

are sets,

f

RLD

(

A

;

B

)

,

g

RLD

(

B

;

C

)

,

h

RLD

(

A

;

C

)

. Then

g

f

h

g

h

f

1

.

Proof.

See .

Lemma 3.

f

(

A ×

FCD

B

) =

A ×

FCD

h

f

iB

for elements

A ∈

A

and

B ∈

B

of some posets

A

,

B

with

least elements and

f

FCD

(

A

;

B

)

.

Proof.

h

f

(

A ×

FCD

B

)

iX

=

h

f

iB

if

X

A

0

if

X ≍ A

=

hA ×

FCD

h

f

iBiX

.

1