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Definition 3.

A funcoid

f

converges to a filter object

A

on a filter object

B

regarding a funcoid

µ

iff

f

|

B

µ

A

.

Remark 4.

We can define also convergence for a reloid

f

:

f

µ

A ⇔

im

f

⊆ h

µ

iA

or what is the

same

f

µ

A ⇔

(

FCD

)

f

µ

A

.

Theorem 5.

Let

f

,

g

,

µ

,

ν

are funcoids,

A

is a filter object. If

f

µ

A

,

g

|

h

µ

iA

C

(

µ

(

h

µ

iA

)

2

;

ν

)

and

h

µ

iA ⊇ A

then

g

f

ν

h

g

iA

.

Proof.

im

f

⊆ h

µ

iA

;

h

g

i

im

f

⊆ h

g

ih

µ

iA

; im

(

g

f

)

⊆ h

g

|

h

µ

iA

ih

µ

iA

; im

(

g

f

)

⊆ h

g

|

h

µ

iA

ih

µ

(

h

µ

iA

)

2

iA

; im

(

g

f

)

⊆ h

g

|

h

µ

iA

(

µ

(

h

µ

iA

)

2

)

iA

; im

(

g

f

)

⊆ h

ν

g

|

h

µ

iA

iA

; im

(

g

f

)

⊆ h

ν

g

iA

;

im

(

g

f

)

⊆ h

ν

ih

g

iA

;

g

f

ν

h

g

iA

.

Corollary 6.

Let

f

,

g

,

µ

,

ν

are funcoids,

A

is a filter object. If

f

µ

A

,

g

C

(

µ

;

ν

)

and

h

µ

iA ⊇ A

then

g

f

ν

h

g

iA

.

Proof.

From the last theorem and a theorem in [3].

The following is the theorem about convergence of a continuous funcoid:

Theorem 7.

If

f

C

(

µ

;

ν

)

then

f

|

h

µ

iA

ν

h

f

iA

(for any funcoids

µ

and

ν

and a filter object

A

).

Proof.

f

|

h

µ

iA

ν

h

f

iA ⇔

im

f

|

h

µ

iA

⊆ h

ν

ih

f

iA ⇔ h

f

ih

µ

iA ⊆ h

ν

ih

f

iA ⇔ h

f

µ

iA ⊆ h

ν

f

iA ⇐

f

µ

ν

f

f

C

(

µ

;

ν

)

.

4 Limit

Definition 8.

lim

µ

f

=

a

iff

f

µ

{

a

}

for a

T

2

-separable funcoid

µ

and a non-empty funcoid

f

.

It is defined correctly, that is

f

has no more than one limit.

Proof.

Let lim

µ

f

=

a

and lim

µ

f

=

b

. Then im

f

⊆ h

µ

i{

a

}

and im

f

⊆ h

µ

i{

b

}

.

Because

f

0

we have im

f

0

;

h

µ

i{

a

} ∩ h

µ

i{

b

}

0

;

{

b

} ∩ h

µ

1

ih

µ

i{

a

}

0

;

{

b

} ∩

h

µ

1

µ

i{

a

}

0

;

{

a

}

[

µ

1

µ

]

{

b

}

. Because

µ

is

T

2

-separable we have

a

=

b

.

Definition 9.

lim

B

µ

f

=

lim

µ

(

f

|

B

)

.

Remark 10.

We can also in an obvious way define limit of a reloid.

5 Generalized limit

5.1 The definition

Let

µ

and

ν

are funcoids [2],

G

is a group of functions.

Let

D

is a set such that

r

G

:

im

r

D

∧ ∀

x, y

D

r

G

:

r

(

x

) =

y

.

We require that

µ

and any

r

G

commute, that is

µ

r

=

r

µ

.

We require for every

y

ν

⊇ h

ν

i{

y

} ×

FCD

h

ν

i{

y

}

(1)

Remark 11.

The formula (1) usually works if

ν

is a proximity. It does not work if

µ

is a

pretopology or preclosure.

2

Section 5