background image

Convergence of funcoids

by Victor Porton

October 13, 2012

Abstract

Considered convergence and limit for funcoids (a generalization of proximity spaces).

I also have defined (generalized) limit for arbitrary (not necessarily continuous) functions

under certain conditions.

This article is a part of my Algebraic General Topology research.

Keywords:

limit, convergence, discontinuous analysis, nonsmooth analysis, non smooth

analysis

A.M.S. subject classification:

54A2054E05, 32A70, 46F3049J52

Table of contents

1 Draft status

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Common

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 Convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4 Limit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5 Generalized limit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.1 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Generalized limits as a generalization of limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.3 Yet to do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Bibliography

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Draft status

This is a partial draft.

2 Common

See [2] for the definition of funcoid.

3 Convergence

[TODO: Specify sources and destinations of the considered funcoids and reloids.]

Definition 1.

A filter object

F

converges to a filter object

A

regarding a funcoid

µ

(

F→

µ

A

) iff

F ⊆ h

µ

iA

.

1

Definition 2.

A funcoid

f

converges to a filter object

A

regarding a funcoid

µ

(

f

µ

A

) iff

im

f

h

µ

iA

that is iff

im

f

µ

A

.

. This document has been written using the GNU TEX

MACS

text editor (see

www.texmacs.org

).

1. This generalizes the standard definition of filter convergent to a point or to a set.

1