background image

2

Victor Porton

See my book for formulas for

principal funcoids

that is funcoids corresponding to binary relations

and for funcoids corresponding to pretopologies and preclosures (particularly funcoids corresponding
to topological spaces, as topological spaces can be considered as a special case of either pretopologies
or preclosures).

There are also several other equivalent ways to define funcoids.
Funcoids are made more interesting than topological spaces by a new operation (missing in tradi-

tional general topology),

composition

, which is defined by the formula

(

B, C, α

2

, β

2

)

(

A, B, α

1

, β

1

) = (

A, C, α

2

α

1

, β

1

β

2

)

.

10.

Reloids

Reloids are basically just filters on cartesian product

A

×

B

of two given sets

A

and

B

.

Formally:

Definition 11.

A

reloid

is a triple

(

A, B, F

)

where

A

,

B

are sets and

F

is a filter on

A

×

B

.

Reloids are a generalization of uniform spaces and of binary relations.

Definition 12.

Composition

g

f

of reloids can be easily defined as the reloid determined by the filter

base consisting of compositions of binary relations defining these reloids (see the book for an exact
formula).

Proposition 13.

Composition of reloids (and of funcoids) is associative.

The sets of funcoids and reloids constitute complete atomistic co-brouwerian lattices and these

lattices have interesting properties.

There are interesting relationships between funcoids and reloids, as well as special classes of funcoids

and reloids.

14.

Continuity

A function

f

from a space

µ

to a space

ν

is

continuous

iff

f

µ

v

ν

f

. This formula works for

continuity, proximal continuity, uniform continuity, etc., so making all kinds of continuity described by
the same formula.

15.

Other

My book [1] also considers pointfree generalizations of funcoids, multidimensional generalizations of

funcoids and reloids and other research topics.

I also introduce generalized limit for arbitrary (not necessarily continuous) functions.
My work introduced

many

new conjectures. So I give you a work.

Rerefences

[1] Victor Porton. Algebraic General Topology. Volume 1.

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html