background image

5

Analog of order topology for funcoids/reloids.
A set is connected if every function from it to a discrete space is constant. Can

this be generalized for generalized connectedness and generalized continuity? I have
no idea how to relate these two concepts in general.

Develop theory of

funcoidal groups

by analogy with topological groups. Attempt

to use this theory to solve this open problem:

http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/iseveryregularparatopologicalgrouptychonoff

Is

it

useful

as

topological

group

determines

not

only

a

topology

but

even a uniformity?

An interesting article on topological groups:

https:

//arxiv.org/abs/1901.01420

Consider generalizations of this article:

https://www.researchgate.net/publication/318822240 Categorically Closed
Topological Groups

A space

µ

is

T

2- iff the diagonal ∆ is closed in

µ

×

µ

.

The

β

-th projection map is not only continuous but also open (Willard, theorem

8.6).

T x

-separation axioms for products of spaces.

Willard 13.13 and its important corollary 13.14.
Willard 15.10.
About real-valued functions on endofuncoids: Urysohn’s Lemma (and conse-

quences: Tietze’s extension theorem) for funcoids.

About product of reloids:

http://portonmath.wordpress.com/2012/05/23/unfirunded-questions/

Generalized Fr´

echet filter on a poset (generalize for filtrators)

A

is a filter Ω such

that

Ω =

x

A

atoms

x

is infinite

.

Research their properties (first, whether they exists for every poset). Also consider
Fr´

echet element of

FCD

(

A

;

B

). Another generalization of Fr´

echet filter is meet of

all coatoms.

Manifolds.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397585900623

(free download, also Google for ”pre-adjunction”, also ”semi” instead of ”pre”) Are
(

FCD

) and (

RLD

)

in

adjunct?

Check how

multicategories

are related with categories with star-morphisms.

At

https://en.wikipedia.org/wiki/Semilattice

they are defined distributive semi-

lattices. A join-semilattice is distributive if and only if the lattice of its ideals
(under inclusion) is distributive.

The article

http://arxiv.org/abs/1410.1504

has solved “Every paratopological

group is Tychonoff” conjecture positively. Rewrite this article in terms of funcoids
and reloids (especially with the algebraic formulas characterizing regular funcoids).

Generalize interior in topological spaces as the

interior funcoid

of a co-complete

funcoid

f

, defined as a pointfree funcoid

f

:

F

dual Src

f

F

dual Dst

f

conform-

ing to the formula:

h

f

i

(

I

u

J

) =

h

f

i

I

u

J

=

h

f

i

(

I

t

J

). However composition

of an interior funcoid with a funcoid is neither a funcoid nor an interior funcoid. It
can be generalized using pseudocomplement.

http://math.sun.ac.za/cattop/Output/Kunzi/quasiintr.pdf

“An Introduction to

the Theory of Quasi-uniform Spaces”.