background image

3

Example that Compl

f

t

CoCompl

f

@

f

(for both funcoids and reloids). Proof

for funcoids (for reloids it’s similar): Take

f

=

A ×

FCD

B

. Then (write an ex-

plicit proof) Compl

f

= (Cor

A

)

×

FCD

B

and CoCompl

f

=

A ×

FCD

(Cor

B

). Thus

Compl

f

t

CoCompl

f

6

=

f

(if

A

,

B

are non-principal).

Every funcoid (reloid) is a join of monovalued funcoids (reloids). For funcoids

it’s obvious (because it’s a join of atomic funcoids). For reloids?

“Vicinity” and “neighborhood” mean different things, e.g. in [

2

].

Micronization

µ

and

S

are in some sense related as Galois connection. To

formalize this we need to extend

µ

to arbitrary reloids (not only binary relations).

We need (it is especially important for studying compactness) to find a product

of funcoids which coincides with product of topological spaces. (Cross-composition
product doesn’t because it is even not a funcoid (but a pointfree funcoid).) Neither
subatomic product.

Subspace topology for space

µ

and set

X

is equal to

µ

u

(

X

×

FCD

X

).

Change terminology:

monotone

increasing

.

What are necessary and sufficient conditions for up

f

to be a filter for a funcoid

f

?

Article “Neighborhood Spaces” by D. C. KENT and WON KEUN MIN.

ftp:

//ftp.math.ethz.ch/EMIS/journals/IJMMS/Volume327/239107.pdf

g

v

f

h

f

g

v

h

?

lim

x

af

(

x

) =

b

iff

x

a

implies

h

f

i

x

b

for all filters

x

.

http://mathoverflow.net/q/36999/4086

“A good place to read about uniform

spaces”.

Research the posets of all proximity spaces and all uniform spaces (and also

possibly reflexive and transitive funcoids/reloids).

Are filters on all Heyting or all co-Heyting lattices star-separable?

http://math.

stackexchange.com/q/1326266/4876

Define generalized pointfree reloids as filters on systems of sides.

Galois connections primer

– study to ensure that we considered all Galois con-

nections properties.

Germs

seems to be equivalent to monovalued reloids.

A

= min

n

X

K

A

:

K

6

K

o

, so we can restore

A

from

A

.

Boolean funcoid is a join-semilattice morphism from a boolean lattice to a

boolean lattice. Generalize for pointfree funcoids.

Another way to define pointfree reloid as filters on Galois connections between

two posets.

L

GR

Q

Strd

A

⇔ ∀

finite

M

dom

A

i

M

:

Ai

6

Li

?

Star-composition with identity staroids?
Does upgrading/downgrading of the ideal which represents a prestaroid coincide

with upgrading/downgrading of the prestaroid?

It seems that equivalence of filters on different bases can be generalized: fil-

ters

A ∈

A

and

B ∈

B

are

equivalent

iff there exists an

X

A

B

which is greater

than both

A

and

B

. This however works only in the case if order of the orders

A

and

B

agree, that is if then are both a suborders of a greater fixed order.

Under which conditions a function spaces of posets is strongly separable?
Generalize both funcoids and reloids as filters on a superset of the lattice Γ (see

“Funcoids are filters” chapter).

When the set of filters closed regarding a funcoid is a (co-)frame?