background image

This document contains a list of short ideas of future research in Algebraic

General Topology.

I have created branch

devel

in

the L

A

TEXrepository

for the book to add new

“draft” features there. The

devel

branch isn’t distributed by me in PDF format,

but you can download and compile it yourself.

This research plan is not formal and may contain vague statements.

1.

Things to do first

Which filter operations are congruences on equivalence of filters?

2.

Misc

Some special cases of reloids:

https://www.researchgate.net/publication/

331776637 Functional Boundedness of Balleans Coarse Versions of Compactness

“Unfixed” for more general settings than lattice and its sublattice. (However, it

looks like this generalization has no practical applications.)

Should clearly denote

pFCD

(

A

;

Z

) or

pFCD

(

A

).

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact element
https://arxiv.org/abs/1904.12525

On proximal fineness of topological groups in

their right uniformity

https://arxiv.org/abs/1905.00513

On

B

-Open Sets

Try to describe a filter with up of infintiely small components. For this use a

filter (of sets or filters) rather than a set of sets.

About generalization of simplical sets for nearness spaces on posets?

https:

//arxiv.org/abs/1902.07948

3.

Category theory

Can product morphism (in a category with restricted identities) be considered as

a categorical product in

arrow category

(It seems impossible to define projections

for arbitrary categories with binary product morphism. Can it be in the special
cases of funcoids and reloids?)

Attempting to extend Tychonoff product from topologies to funcoids: —— If

i

has left adjoint: If

r

is left adjoint to

i

, we have Hom(

A, i

(

X

×

Y

)) = Hom(

r

(

A

)

, X

×

Y

) = Hom(

r

(

A

)

, X

)

×

Hom(

r

(

A

)

, Y

) = Hom(

A, i

(

X

))

×

Hom(

A, i

(

Y

)). —— If also

the left adjoint is full and faithful: Hom(

A, i

(

r

(

X

)

×

r

(

Y

))) = Hom(

r

(

A

)

, r

(

X

)

×

r

(

Y

)) = Hom(

r

(

A

)

, r

(

X

))

×

Hom(

r

(

A

)

, r

(

Y

)) = Hom(

A, X

)

×

Hom(

A, Y

). See

also

http://math.stackexchange.com/q/1982931/4876

However this does not apply

because reflection of topologies in funcoids is not full.

Being intersecting

is defined for posets (= thin categories). It seems that this

can be generalized for any categories. This way we can define (pointfree) funcoids
between categories generalizing pointfree funcoids between posets. (However this
is probably easily reducible to the case of posets.)

I have defined

RLD

]

to describe Hom-sets of the category or reloids but without

source and destination and without composition.

RLD

should be replaced with

RLD

]

where possible, in order to make the theorems throughout the book a little

more general. Also introduce similar features like Γ

]

and

F

Γ

]

(the last notation

may need to be changed).

Misc properties of continuous functions between endofuncoids and endoreloids.

1