background image

Hyperfuncoids

by Victor Porton

Web:

http://www.mathematics21.org

December 10, 2014

This is a rough partial draft.

1 Hyperfuncoids

Let

A

is an indexed family of sets.

Products

are

Q

A

for

A

2

Q

A

.

Problem 1.

Is

d

FCD

a bijection from hyperfuncoids

F

¡

to:

1. prestaroids on

A

;

2. staroids on

A

;

3. completary staroids on

A

?

If yes, is up

¡

dening the inverse bijection?

If not, characterize the image of the function

d

FCD

dened on

F

¡

.

Alternatively (dierently for the innite dimensional case!) dene

¡

as the set of intersections

of

sets with holes

that is

Q

A

n

Q

A

where

A

v

A

. In other words, it is the set

¡

of complements

of elements of the set

¡

.

Theorem 2.

For every anchored relation

f

on powersets,

f

=

d

Anch

(

A

)

up

¡

f

.

Proof.

We need to prove only

f

v

d

Anch

(

A

)

up

¡

f

.

Fix

n

2

arity

A

. Let

A

2

Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

.

[TODO: Dene the complement.]

Dene

g

(

A

) =

 Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

 h

f

i

n

A

[

 Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

1

for

A

2

Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

.

Obviously

g

(

A

)

2

¡

.

Let

X

2

Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

.

If

0 =

/

X

v

A

then

h

g

(

A

)

i

n

X

=

h

f

i

n

A

w h

f

i

n

X

.

If

X

v

A

then

h

g

(

A

)

i

n

X

= 1

.

So

h

G

(

A

)

i

n

w h

f

i

n

and thus

G

(

A

)

w

f

.

For a given

f

, we have

h

g

(

A

)

i

n

A

=

h

f

i

n

A

. Thus for every

A

2

Q

(

arity

f

)

nf

n

g

A

i

we have

h

f

i

n

A

v

D

d

cStrd

(

A

)

up

¡

f

E

n

A

and so

f

v

d

Anch

(

A

)

up

¡

f

.

Corollary 3.

1. If

f

is a prestaroid,

f

=

d

pStrd

(

A

)

up

¡

f

.

2. If

f

is a staroid,

f

=

d

Strd

(

A

)

up

¡

f

.

3. If

f

is a completary staroid,

f

=

d

cStrd

(

A

)

up

¡

f

.

1