background image

Let

δ

be a proximity that is certain binary relation so that

A δ B

is defined

for every sets

A

and

B

. We will extend it from sets to filter objects by the

formula:

A

δ

B ⇔ ∀

A

up

A

, B

up

B

:

A δ B.

Then (as it will be proved below) there exist two functions

α, β

F

F

such that

A

δ

B ⇔ B ∩

F

α

A 6

= 0

F

⇔ A ∩

F

β

B 6

= 0

F

.

The pair (

α

;

β

) is called

funcoid

when

B ∩

F

α

A 6

= 0

F

⇔ A ∩

F

β

B 6

= 0

F

. So

funcoids are a generalization of proximity spaces.

Funcoids consist of two components the first

α

and the second

β

. The first

component of a funcoid

f

is denoted as

h

f

i

and the second component is denoted

as

f

1

. (The similarity of this notation with the notation for the image of a

set under a function is not a coincidence, we will see that in the case of principal
funcoids (see below) these coincide.)

One of the most important properties of a funcoid is that it is uniquely

determined by just one of its components. That is a funcoid

f

is uniquely

determined by the function

h

f

i

. Moreover a funcoid

f

is uniquely determined

by

h

f

i |

P

S

dom

h

f

i

that is by values of function

h

f

i

on sets (if we equate principal

filters with sets).

Next we will consider some examples of funcoids determined by specified

values of the first component on sets.

Funcoids as a generalization of pretopological spaces: Let

α

be a pretopo-

logical space that is a map

α

F

for some set

. Then we define

α

X

def

=

S

F

{

αx

|

x

X

}

for every set

X

P

. We will prove that there exists a

unique funcoid

f

such that

α

=

h

f

i |

P

. So funcoids are a generalization of

pretopological spaces. Funcoids are also a generalization of preclosure opera-
tors: For every preclosure operator

p

on a set

it exists a unique funcoid

f

such that

h

f

i |

P

=

↑ ◦

p

.

For every binary relation

p

on a set

it exists unique funcoid

f

such that

X

P

:

h

f

i ↑

X

=

↑ h

p

i

X

(where

h

p

i

is defined in the introduction), recall

that a funcoid is uniquely determined by the values of its first component on
sets. I will call such funcoids

principal

. So funcoids are a generalization of

binary relations.

Composition of binary relations (i.e. of principal funcoids) complies with

the formulas:

h

g

f

i

=

h

g

i ◦ h

f

i

and

(

g

f

)

1

=

f

1

g

1

.

By the same formulas we can define composition of every two funcoids. Funcoids
with this composition form a category (

the category of funcoids

).

Also funcoids can be reversed (like reversal of

X

and

Y

in a binary relation)

by the formula (

α

;

β

)

1

= (

β

;

α

). In particular case if

µ

is a proximity we have

µ

1

=

µ

because proximities are symmetric.

Funcoids behave similarly to (multivalued) functions but acting on filter

objects instead of acting on sets. Below these will be defined domain and image
of a funcoid (the domain and the image of a funcoid are filter objects).

9