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Example 12

There exist funcoids

f

and

g

such that

(

RLD

)

out

(

g

f

)

6

= (

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f.

Proof

Take

f

=

I

FCD

Ω(

N

)

and

g

= 1

F

(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

for some

α

N

. Then

(

RLD

)

out

f

= 0

RLD

(

N

;

N

)

and thus (

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

= 0

RLD

(

N

;

N

)

.

We have

g

f

= Ω (

N

)

×

FCD

N

{

α

}

.

Let’s prove (

RLD

)

out

(Ω (

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) = Ω (

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

Really: (

RLD

)

out

(Ω (

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) =

RLD

(

N

;

N

)

up(Ω (

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) =

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

|

K

up Ω (

N

)

 

.

F

up

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

|

K

up Ω (

N

)

 

F

up

N

K

|

K

up Ω (

N

)

 

×

RLD

N

{

α

}

for every

F

P

(

N

×

N

).

Thus

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

|

K

up Ω (

N

)

 

=

N

K

|

K

up Ω (

N

)

 

×

RLD

N

{

α

}

= Ω (

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

So (

RLD

)

out

(Ω (

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) = Ω (

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

Thus (

RLD

)

out

(

g

f

) = Ω (

N

)

×

RLD

N

{

α

} 6

= 0

RLD

(

N

;

N

)

.

Example 13

(

FCD

) does not preserve finite meets.

Proof

(

FCD

)(

I

RLD

(

N

)

(1

RLD

(

N

;

N

)

\

I

RLD

(

N

)

)) = (

FCD

)0

RLD

(

N

;

N

)

= 0

FCD

(

N

;

N

)

.

On the other hand

(

FCD

)

I

RLD

(

N

)

(

FCD

)(1

RLD

(

N

;

N

)

\

I

RLD

(

N

)

)) =

I

FCD

(

N

)

∩ ↑

FCD

(

N

;

N

)

(

N

×

N

\

I

N

) =

I

FCD

Ω(

N

)

6

= 0

FCD

(

N

;

N

)

(used the proposition 31).

Corollary 23

(

FCD

)

is not an upper adjoint (in general).

Considering restricting polynomials (considered as reloids) to atomic filter

objects, it is simple to prove that each that restriction is injective if not restrict-
ing a constant polynomial. Does this hold in general? No, see the following
example:

Example 14

There exists a monovalued reloid with atomic domain which is

neither injective nor constant (that is not a restriction of a constant function).

Proof

(based on [16]) Consider the function

F

N

N

×

N

defined by the formula

(

x

;

y

)

7→

x

.

Let

ω

x

is a non-principal atomic filter object on the vertical line

{

x

} ×

N

for

every

x

N

.

Let

T

is the collection of such sets

Y

that

Y

(

{

x

} ×

N

)

up

ω

x

for all but

finitely many vertical lines. Obviously

T

is a filter.

Let

ω

atoms up

1

T

.

For every

x

N

we have some

Y

T

for which (

{

x

} ×

N

)

Y

=

and thus

(

{

x

} ×

N

)

up

ω

=

.

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