Proof

I will prove that quasi-complement (see [15] for the definition of quasi-

complement) of the funcoid

I

FCD

(

N

)

is not its complement. We have:

I

FCD

(

N

)

=

[ n

c

FCD

(

N

;

N

)

|

c

I

FCD

(

N

)

o

[ n

N

{

α

} ×

FCD

N

{

β

}

|

α, β

N

,

N

{

α

} ×

FCD

N

{

β

} ≍

I

FCD

(

N

)

o

=

N

{

α

} ×

FCD

N

{

β

}

|

α, β

N

, α

6

=

β

=

FCD

(

N

;

N

)

[

{{

α

} × {

β

}

|

α, β

N

, α

6

=

β

}

=

FCD

(

N

;

N

)

(

N

×

N

\

I

N

)

(used the corollary 10). But by proved above

I

FCD

(

N

)

I

FCD

(

N

)

6

= 0

F

(

N

)

.

Example 8

There exists funcoid

h

such that up

h

is not a filter.

Proof

Consider the funcoid

h

=

I

FCD

Ω(

N

)

. We have (from the proof of proposition

51) that

f

up

h

and

g

up

h

, but

f

g

=

/

up

h

.

Example 9

There exists a funcoid

h

6

= 0

FCD

(

A

;

B

)

such that (

RLD

)

out

h

=

0

RLD

(

A

;

B

)

.

Proof

Consider

h

=

I

FCD

Ω(

N

)

. By proved above

h

=

f

g

where

f

=

I

FCD

(

N

)

,

g

=

FCD

(

N

;

N

)

((

N

×

N

)

\

I

N

).

We have id

N

,

(

N

×

N

)

\

id

N

up

h

.

So (

RLD

)

out

h

=

RLD

(

N

;

N

)

up

h

⊆↑

RLD

(

N

;

N

)

(id

N

((

N

×

N

)

\

id

N

)) =

0

RLD

(

N

;

N

)

; and thus (

RLD

)

out

h

= 0

RLD

(

N

;

N

)

.

Example 10

There exists a funcoid

h

such that (

FCD

)(

RLD

)

out

h

6

=

h

.

Proof

It follows from the previous example.

Example 11

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

6

=

f

for some convex reloid

f

.

Proof

Let

f

=

I

RLD

(

N

)

. Then (

FCD

)

f

=

I

FCD

(

N

)

. Let

a

be some non-

trivial atomic f.o. Then (

RLD

)

in

(

FCD

)

f

a

×

RLD

a

*

I

RLD

(

N

)

and thus

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

*

f

.

Remark 10

Before I found the last counter-example, I thought that (

RLD

)

in

is an isomorphism from the set of of funcoids to the set of convex reloids. As
this conjecture failed, we need an other way to characterize the set of reloids
isomorphic to funcoids.

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