background image

Proof

Obviously

S

(

S

(

f

))

S

(

f

) and

S

(

S

(

f

))

S

(

f

).

But

S

(

S

(

f

))

S

(

S

(

f

)) =

S

(

f

) and

S

(

S

(

f

))

S

(

S

(

f

)) =

S

(

f

).

Conjecture 24

S

(

S

(

f

)) =

S

(

f

)

for

1. every endo-reloid

f

;

2. every endo-funcoid

f

.

Conjecture 25

For every endo-reloid

f

1.

S

(

f

)

S

(

f

) =

S

(

f

)

;

2.

S

(

f

)

S

(

f

) =

S

(

f

)

;

3.

S

(

f

)

S

(

f

) =

S

(

f

)

S

(

f

) =

S

(

f

)

.

Conjecture 26

S

(

f

)

S

(

f

) =

S

(

f

)

for every endo-funcoid

f

.

8

Postface

8.1

Misc

See this Web page for my research plans: http://www.mathematics21.org/agt-plans.html

I deem that now the most important research topics in Algebraic General

Topology are:

to solve the open problems mentioned in this work;

define and research compactness of funcoids;

research are

n

-ary (where

n

is an ordinal, or more generally an index set)

funcoids and reloids (plain funcoids and reloids are binary by analogy with
binary relations).

We should also research relationships between complete funcoids and complete
reloids.

All my research of funcoids and reloids is presented at

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html

A

Some counter-examples

For further examples we will use the filter object ∆ defined by the formula

∆ =

\ n

F

(

R

)

(

ε

;

ε

)

|

ε

R

, ε >

0

o

.

I also will denote Ω (

A

) the Fr´echet f.o. on the set

A

.

70