background image

Definition 8

Transitive

(endo)morphism of a precategory is such a morphism

f

that

f

=

f

f

.

Theorem 3

The following conditions are equivalent for a morphism

f

of a

dagger precategory:

1.

f

is symmetric and transitive.

2.

f

=

f

f

.

Proof

(1)

(2)

If

f

is symmetric and transitive then

f

f

=

f

f

=

f

.

(2)

(1)

f

= (

f

f

)

=

f

f

††

=

f

f

=

f

, so

f

is symmetric.

f

=

f

f

=

f

f

, so

f

is transitive.

2.2.1

Some special classes of morphisms

Definition 9

For a partially ordered dagger category I will call

monovalued

morphism such a morphism

f

that

f

f

1

Dst

f

.

Definition 10

For a partially ordered dagger category I will call

entirely de-

fined

morphism such a morphism

f

that

f

f

1

Src

f

.

Definition 11

For a partially ordered dagger category I will call

injective

mor-

phism such a morphism

f

that

f

f

1

Src

f

.

Definition 12

For a partially ordered dagger category I will call

surjective

morphism such a morphism

f

that

f

f

1

Dst

f

.

Remark 1

It’s easy to show that this is a generalization of monovalued, entirely

defined, injective, and surjective binary relations as morphisms of the category

Rel

.

Obvious 2.

“Injective morphism” is a dual of “monovalued morphism” and

“surjective morphism” is a dual of “entirely defined morphism”.

Definition 13

For a given partially ordered dagger category

C

the

category

of monovalued (entirely defined, injective, surjective) morphisms

of

C

is the category with the same set of objects as of

C

and the set of morphisms

being the set of monovalued (entirely defined, injective, surjective) morphisms
of

C

with the composition of morphisms the same as in

C

.

7