 Proposition 49

Let

A

be a set. The f.o.

Ob

µ

A

is connected regarding an

endo-funcoid

µ

iff

X, Y

P

(Ob

µ

)

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

[

µ

]

Y

)

.

Proof

Obvious.

It follows from co-separability of filter objects.

Theorem 75

The following are equivalent for every set

A

and binary relation

µ

on a set

U

:

1.

A

is connected regarding binary relation

µ

.

2.

U

A

is connected regarding

RLD

(

U

;

U

)

µ

.

3.

U

A

is connected regarding

FCD

(

U

;

U

)

µ

.

Proof

(1)

(2)

S

RLD

(

U

;

U

)

µ

∩ ↑

U

A

×

RLD

U

A

=

S

RLD

(

U

;

U

)

(

µ

(

A

×

A

))

=

RLD

(

U

;

U

)

S

(

µ

(

A

×

A

)). So

S

RLD

(

U

;

U

)

µ

(

U

A

×

RLD

U

A

)

⊇↑

U

A

×

RLD

U

A

⇔↑

RLD

(

U

;

U

)

S

(

µ

(

A

×

A

))

⊇↑

RLD

(

U

;

U

)

(

A

×

A

) =

U

A

×

RLD

U

A

.

(1)

(3)

It follows from the previous proposition.

Next is conjectured a statement more strong than the above theorem:

Conjecture 21

Let

A

is a f.o. on a set

U

and

F

is a binary relation on

U

.

A

is connected regarding

FCD

(

U

;

U

)

F

iff

A

is connected regarding

RLD

(

U

;

U

)

F

.

Obvious 31.

A filter object

A

is connected regarding a reloid

µ

iff it is con-

nected regarding the reloid

µ

(

A ×

RLD

A

).

Obvious 32.

A filter object

A

is connected regarding a funcoid

µ

iff it is

connected regarding the funcoid

µ

(

A ×

FCD

A

).

Theorem 76

A filter object

A

is connected regarding a reloid

f

iff

A

is con-

nected regarding every

F

RLD

(Ob

f

;Ob

f

)

up

f

.

Proof

68