 7.1

Some lemmas

Lemma 6

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

up (dom

f

im

f

)

then

f

is closed on

U

A

for a funcoid

f

FCD

(

U

;

U

)

and sets

A, B

P

U

(for every small set

U

).

Proof

Let

A

B

up (dom

f

im

f

).

¬

(

A

[

f

]

B

)

⇔↑

U

B

∩ h

f

i ↑

U

A

=

0

F

(

U

)

(dom

f

im

f

)

∩ ↑

U

B

∩ h

f

i

A

= 0

F

(

U

)

((dom

f

im

f

)

\ ↑

U

A

)

h

f

i

A

= 0

F

(

U

)

⇔ h

f

i

A

⊆↑

U

A

.

Corollary 19

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

up (dom

f

im

f

)

then

f

is closed on

U

(

A

\

B

)

for a funcoid

f

and sets

A, B

P

U

(for every small set

U

).

Proof

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

up (dom

f

im

f

). Then

¬

((

A

\

B

) [

f

]

B

)

∧ ↑

U

((

A

\

B

)

B

)

up (dom

f

im

f

).

Lemma 7

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

up (dom

f

im

f

)

then

¬

(

A

[

f

n

]

B

)

for

every whole positive

n

.

Proof

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

up (dom

f

im

f

). From the above lemma

h

f

i

A

⊆↑

U

A

.

U

B

∩ h

f

i ↑

U

A

= 0

F

(

U

)

, consequently

h

f

i

A

⊆↑

U

(

A

\

B

).

Because (by the above corollary)

f

is closed on

U

(

A

\

B

), then

h

f

i h

f

i ↑

U

A

⊆↑

U

(

A

\

B

),

h

f

i h

f

i h

f

i ↑

U

A

⊆↑

U

(

A

\

B

), etc. So

h

f

n

i ↑

U

A

⊆↑

U

(

A

\

B

),

U

B

≍ h

f

n

i ↑

U

A

,

¬

(

A

[

f

n

]

B

).

7.2

Endomorphism series

Definition 56

S

1

(

µ

)

def

=

µ

µ

2

µ

3

. . .

for an endomorphism

µ

of a precategory

with countable join of morphisms.

Definition 57

S

(

µ

)

def

=

µ

0

S

1

(

µ

) =

µ

0

µ

µ

2

µ

3

. . .

where

µ

0 def

=

I

Ob

µ

(identity morphism for the object

Ob

µ

) where

Ob

µ

is the object of endomor-

phism

µ

for an endomorphism

µ

of a category with countable join of morphisms.

I call

S

1

and

S

endomorphism series

.

We will consider the collection of all binary relations (on a set

), as well as

the collection of all funcoids and the collection of all reloids on a fixed set, as
categories with single object

and the identity morphisms

I

,

I

FCD

(

)

,

I

RLD

(

)

.

Proposition 43

The relation

S

(

µ

)

is transitive for the category of binary re-

lations.

Proof

64