background image

In the case when our semigroup is “dagger” (that is is a dagger precategory) we
will require also (

I

A

)

=

I

A

.

We can define

restricting

an element

f

of our semigroup to an object

A

by

the formula

f

|

A

=

f

I

A

.

We can define

rectangular restricting

an element

µ

of our semigroup to

objects

A

and

B

as

I

B

µ

I

A

. Optionally we can define direct product

A

×

B

of two objects by the formula (true for funcoids and for reloids):

µ

(

A

×

B

) =

I

B

µ

I

A

.

Square restricting

of an element

µ

to an object

A

is a special case of rectan-

gular restricting and is defined by the formula

I

A

µ

I

A

(or by the formula

µ

(

A

×

A

)).

Theorem 72

For every elements

f

,

µ

,

ν

of our semigroup and an object

A

1.

f

C(

µ

;

ν

)

f

|

A

C(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

;

2.

f

C

(

µ

;

ν

)

f

|

A

C

(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

;

3.

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

f

|

A

C

′′

(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

.

(Two last items are true for the case when our semigroup is dagger.)

Proof

1.

f

|

A

C(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

f

|

A

I

A

µ

I

A

ν

f

|

A

f

I

A

I

A

µ

I

A

ν

f

|

A

f

I

A

µ

I

A

ν

f

I

A

f

I

A

µ

ν

f

f

µ

ν

f

f

C(

µ

;

ν

).

2.

f

|

A

C

(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

I

A

µ

I

A

(

f

|

A

)

ν

f

|

A

I

A

µ

I

A

(

f

I

A

)

ν

f

I

A

I

A

µ

I

A

I

A

f

ν

f

I

A

µ

f

ν

f

f

C

(

µ

;

ν

).

3.

f

|

A

C

′′

(

I

A

µ

I

A

;

ν

)

f

|

A

I

A

µ

I

A

(

f

|

A

)

ν

f

I

A

I

A

µ

I

A

I

A

f

ν

f

I

A

µ

I

A

f

ν

f

µ

f

ν

f

C

′′

(

µ

;

ν

).

7

Connectedness regarding funcoids and reloids

Definition 55

I will call

endo-reloids

and

endo-funcoids

reloids and fun-

coids with the same source and destination.

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