 Proof

Let

f

C

(

µ

;

ν

). Then

µ

f

ν

f

;

f

µ

f

f

ν

f

1

Dst

f

ν

f

=

ν

f

;

f

C(

µ

;

ν

).

Let

f

C(

µ

;

ν

). Then

f

µ

ν

f

;

f

µ

f

ν

f

f

ν

1

Dst

f

=

ν

;

f

C

′′

(

µ

;

ν

).

Proposition 42

For an entirely defined morphism

f

of a partially ordered dag-

ger category and its endomorphisms

µ

and

ν

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

f

C(

µ

;

ν

)

f

C

(

µ

;

ν

)

.

Proof

Let

f

C

′′

(

µ

;

ν

). Then

f

µ

f

ν

;

f

µ

f

f

ν

f

;

f

µ

1

Src

f

ν

f

;

f

µ

ν

f

;

f

C(

µ

;

ν

).

Let

f

C(

µ

;

ν

). Then

f

µ

ν

f

;

f

f

µ

f

ν

f

; 1

Src

f

µ

f

ν

f

;

µ

f

ν

f

;

f

C

(

µ

;

ν

).

For entirely defined monovalued morphisms our three definitions of continu-

ity coincide:

Theorem 70

If

f

is a monovalued and entirely defined morphism then

f

C

(

µ

;

ν

)

f

C(

µ

;

ν

)

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

.

Proof

From two previous propositions.

The classical general topology theorem that uniformly continuous function

from a uniform space to an other uniform space is near-continuous regarding the
proximities generated by the uniformities, generalized for reloids and funcoids
takes the following form:

Theorem 71

If an entirely defined morphism of the category of reloids

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

for some endomorphisms

µ

and

ν

of the category of reloids, then

(

FCD

)

f

C

((

FCD

)

µ

; (

FCD

)

ν

)

.

Exercise 2

I leave a simple exercise for the reader to prove the last theorem.

6.3

Continuity of a restricted morphism

Consider some partially ordered semigroup. (For example it can be the semi-
group of funcoids or semigroup of reloids regarding the composition.) Consider
also some lattice (

lattice of objects

). (For example take the lattice of set

theoretic filters.)

We will map every object

A

to

identity element

I

A

of the semigroup (for

example identity funcoid or identity reloid). For identity elements we will require

1.

I

A

I

B

=

I

A

B

;

2.

f

I

A

f

;

I

A

f

f

.

62