 6.2

Our three definitions of continuity

I have expressed different kinds of continuity with simple algebraic formulas hid-
ing the complexity of traditional epsilon-delta notation behind a smart algebra.
Let’s summarize these three algebraic formulas:

Let

µ

and

ν

are endomorphisms of some partially ordered precategory. Con-

tinuous functions can be defined as these morphisms

f

of this precategory which

conform to the following formula:

f

C(

µ

;

ν

)

f

Mor(Ob

µ

; Ob

ν

)

f

µ

ν

f.

If the precategory is a partially ordered dagger precategory then continuity also
can be defined in two other ways:

f

C

(

µ

;

ν

)

f

Mor(Ob

µ

; Ob

ν

)

µ

f

ν

f

;

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

f

Mor(Ob

µ

; Ob

ν

)

f

µ

f

ν.

Remark 8

In the examples (above) about funcoids and reloids the “dagger

functor” is the inverse of a funcoid or reloid, that is

f

=

f

1

.

Proposition 40

Every of these three definitions of continuity forms a sub-

precategory (subcategory if the original precategory is a category).

Proof

C Let

f

C(

µ

;

ν

),

g

C(

ν

;

π

). Then

f

µ

ν

f

,

g

ν

π

g

;

g

f

µ

g

ν

f

π

g

f

. So

g

f

C(

µ

;

π

). 1

Ob

µ

C(

µ

;

µ

) is obvious.

C

Let

f

C

(

µ

;

ν

),

g

C

(

ν

;

π

). Then

µ

f

ν

f

,

ν

g

π

g

;

µ

f

g

π

g

f

;

µ

(

g

f

)

π

(

g

f

)

.

So

g

f

C

(

µ

;

π

). 1

Ob

µ

C

(

µ

;

µ

) is obvious.

C

′′

Let

f

C

′′

(

µ

;

ν

),

g

C

′′

(

ν

;

π

). Then

f

µ

f

ν

,

g

ν

g

π

;

g

f

µ

f

g

π

;

(

g

f

)

µ

(

g

f

)

π.

So

g

f

C

′′

(

µ

;

π

). 1

Ob

µ

C

′′

(

µ

;

µ

) is obvious.

Proposition 41

For a monovalued morphism

f

of a partially ordered dagger

category and its endomorphisms

µ

and

ν

f

C

(

µ

;

ν

)

f

C(

µ

;

ν

)

f

C

′′

(

µ

;

ν

)

.

61