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6.1.2

Proximity spaces

Let

µ

and

ν

are proximity (nearness) spaces (which I consider a special case of

funcoids). By definition a function

f

is a proximity-continuous map (also called

equivicontinuous) from

µ

to

ν

iff

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

X

[

ν

]

h

f

i

Y

)

.

Equivalently transforming this formula we get (writing

instead of

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

for brevity):

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

Y

∩ h

ν

i h

f

i

X

6

= 0

F

(Dst

ν

)

);

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

Y

∩ h

ν

◦ ↑

f

i

X

6

= 0

F

(Dst

ν

)

);

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

X

[

ν

◦ ↑

f

]

h

f

i

Y

);

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

Y

h

(

ν

◦ ↑

f

)

1

i

X

);

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

Y

h

(

f

)

1

ν

1

i

X

);

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) :

X

[

µ

]

Y

⇒↑

F

(Src

µ

)

X

D

(

f

)

1

ν

1

E

h

f

i

Y

6

= 0

F

(Src

µ

)

;

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) :

X

[

µ

]

Y

⇒↑

F

(Src

µ

)

X

D

(

f

)

1

ν

1

◦ ↑

f

E

Y

6

= 0

F

(Src

µ

)

;

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) :

X

[

µ

]

Y

Y

h

(

f

)

1

ν

1

◦ ↑

f

i

X

;

X

P

(Src

µ

)

, Y

P

(Dst

µ

) :

X

[

µ

]

Y

X

h

(

f

)

1

ν

◦ ↑

f

i

Y

;

µ

(

f

)

1

ν

◦ ↑

f.

So a function

f

is proximity-continuous iff

µ

⊆ ↑

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

1

ν

◦ ↑

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

.

6.1.3

Uniform spaces

Uniform spaces are a special case of reloids.

Let

µ

and

ν

are uniform spaces. By definition a function

f

is a uniformly

continuous map from

µ

to

ν

iff

ǫ

up

ν

δ

up

µ

(

x

;

y

)

δ

: (

f x

;

f y

)

ǫ.

Equivalently transforming this formula we get:

ǫ

up

ν

δ

up

µ

(

x

;

y

)

δ

:

{

(

f x

;

f y

)

} ⊆

ǫ

;

ǫ

up

ν

δ

up

µ

(

x

;

y

)

δ

:

f

◦ {

(

x

;

y

)

} ◦

f

1

ǫ

;

ǫ

up

ν

δ

up

µ

:

f

δ

f

1

ǫ

;

ǫ

up

ν

:

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

µ

◦ ↑

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

1

⊆↑

RLD

(Src

ν

;Dst

ν

)

ǫ

;

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

µ

◦ ↑

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

1

ν.

So a function

f

is uniformly continuous iff

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

µ

◦ ↑

RLD

(Dst

µ

;Dst

ν

)

f

1

ν

.

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