background image

2.2

Dagger categories

Definition 4

I will call a

dagger precategory

a precategory together with an

involutive contravariant identity-on-objects prefunctor

x

7→

x

.

In other words, a

dagger precategory

is a precategory equipped with a

function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the

destination and is subject to the following identities for every morphisms

f

and

g

:

1.

f

††

=

f

;

2.

(

g

f

)

=

f

g

.

Definition 5

I will call a

dagger category

a category together with an invo-

lutive contravariant identity-on-objects functor

x

7→

x

.

In other words, a

dagger category

is a category equipped with a function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the destination

and is subject to the following identities for every morphisms

f

and

g

and object

A

:

1.

f

††

=

f

;

2.

(

g

f

)

=

f

g

;

3.

(1

A

)

= 1

A

.

Theorem 2

If a category is a dagger precategory then it is a dagger category.

Proof

We need to prove only that (1

A

)

= 1

A

. Really

(1

A

)

= (1

A

)

1

A

= (1

A

)

(1

A

)

††

= ((1

A

)

1

A

)

= (1

A

)

††

= 1

A

.

For a partially ordered dagger (pre)category I will additionally require (for

every morphisms

f

and

g

)

f

g

f

g.

An example of dagger category is the category

Rel

whose objects are sets and

whose morphisms are binary relations between these sets with usual composition
of binary relations and with

f

=

f

1

.

Definition 6

A morphism

f

of a dagger category is called

unitary

when it is

an isomorphism and

f

=

f

1

.

Definition 7

Symmetric

(endo)morphism of a dagger precategory is such a

morphism

f

that

f

=

f

.

6