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Proof

(

RLD

)

in

(

f

(

FCD

B

)) = (

RLD

)

in

f

(

RLD

)

in

(

FCD

B

) = ((

RLD

)

in

f

)

(

A ×

RLD

B

).

Corollary 18

(

RLD

)

in

(

f

|

A

) = ((

RLD

)

in

f

)

|

A

for every funcoid

f

and f.o.

A

.

Conjecture 19

(

RLD

)

in

is not a lower adjoint (in general).

Conjecture 20

(

RLD

)

out

is neither a lower adjoint nor an upper adjoint (in

general).

See also the corollary 23 below.

6

Continuous morphisms

This section uses the apparatus from the section “Partially ordered dagger cat-
egories”.

6.1

Traditional definitions of continuity

In this section we will show that having a funcoid or reloid

f

corresponding

to a function

f

we can express continuity of it by the formula

f

µ

ν

◦ ↑

f

(or similar formulas) where

µ

and

ν

are some spaces.

6.1.1

Pre-topology

Let

µ

and

ν

are funcoids representing some pre-topologies. By definition a

function

f

is continuous map from

µ

to

ν

in point

a

iff

ǫ

up

h

ν

i

{

f a

}∃

δ

up

h

µ

i

{

a

}

:

h

f

i

δ

ǫ.

Equivalently transforming this formula we get:

ǫ

up

h

ν

i

{

f a

}

:

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

h

µ

i ↑

Src

µ

{

a

} ⊆

ǫ

;

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

h

µ

i ↑

Src

µ

{

a

} ⊆ h

ν

i

{

f a

}

;

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

h

µ

i ↑

Src

µ

{

a

} ⊆ h

ν

i

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

Src

µ

{

a

}

;

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

µ

Src

µ

{

a

} ⊆

ν

◦ ↑

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

Src

µ

{

a

}

.

So

f

is a continuous map from

µ

to

ν

in every point of its domain iff

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f

µ

ν

◦ ↑

FCD

(Src

µ

;Dst

ν

)

f.

59