background image

from this by the lemma (taking in account that

{

G

F

|

F

up

f, G

up

g

}

and up

RLD

(Src

f

;Dst

g

)

(

G

F

)

|

F

up

f, G

up

g

 

are filter bases)

\ n

Dst

g

h

H

i

X

|

H

up

\ n

RLD

(Src

f

;Dst

g

)

(

G

F

)

|

F

up

f, G

up

g

oo

=

Dst

g

h

G

F

i

X

|

F

up

f, G

up

g

 

.

On the other side

h

((

FCD

)

g

)

((

FCD

)

f

)

i

X

=

h

(

FCD

)

g

i h

(

FCD

)

f

i

X

=

h

(

FCD

)

g

i

Dst

f

h

F

i

X

|

F

up

f

 

=

\ nD

FCD

(Src

g

;Dst

g

)

G

E \ 

Dst

f

h

F

i

X

|

F

up

f

 

|

G

up

g

o

.

Let’s prove that

{h

F

i

X

|

F

up

f

}

is a filter base. If

A, B

∈ {h

F

i

X

|

F

up

f

}

then

A

=

h

F

1

i

X

and

B

=

h

F

2

i

X

where

F

1

, F

2

up

f

.

A

B

⊇ h

F

1

F

2

i

X

{h

F

i

X

|

F

up

f

}

. So

{h

F

i

X

|

F

up

f

}

is really a filter base.

By the theorem we have

D

FCD

(Src

g

;Dst

g

)

G

E \ 

Dst

f

h

F

i

X

|

F

up

f

 

=

Dst

g

h

G

i h

F

i

X

|

F

up

f

 

.

So continuing the above equalities,

h

((

FCD

)

g

)

((

FCD

)

f

)

i

X

=

\ n\ 

Dst

g

h

G

i h

F

i

X

|

F

up

f

 

|

G

up

g

o

=

Dst

g

h

G

i h

F

i

X

|

F

up

f, G

up

g

 

=

Dst

g

h

G

F

i

X

|

F

up

f, G

up

g

 

.

Combining these equalities we get

h

(

FCD

)(

g

f

)

i

X

=

h

((

FCD

)

g

)

((

FCD

)

f

)

i

X

for every set

X

.

Corollary 15

1.

(

FCD

)

f

is a monovalued funcoid if

f

is a monovalued reloid.

2.

(

FCD

)

f

is an injective funcoid if

f

is an injective reloid.

Proof

We will prove only the first as the second is dual. Let

f

is a monovalued

reloid. Then

f

f

1

I

RLD

(Dst

f

)

; (

FCD

)

f

f

1

I

FCD

(Dst

f

)

; (

FCD

)

f

((

FCD

)

f

)

1

I

FCD

(Dst

f

)

that is (

FCD

)

f

is

a

monovalued funcoid.

Proposition 32

(

FCD

)

I

RLD

A

=

I

FCD

A

for every f.o.

A

.

54