 Also we will need to introduce the concept of

generalized filter base

.

Definition 1

Generalized filter base

is a set

S

P

F

\

0

F

such that

∀A

,

B ∈

S

∃C ∈

S

:

C ⊆ A ∩ B

.

Proposition 2

Let

S

is a generalized filter base. If

A

1

, . . . ,

A

n

S

(

n

N

),

then

∃C ∈

S

:

C ⊆ A

1

. . .

∩ A

n

.

Proof

Can be easily proved by induction.

Theorem 1

If

S

is a generalized filter base, then

up

T

S

=

S

h

up

i

S

.

Proof

Obviously up

T

S

S

h

up

i

S

. Reversely, let

K

up

T

S

; then

K

=

A

1

. . .

A

n

where

A

i

up

A

i

where

A

i

S

,

i

= 1

, . . . , n

,

n

N

; so exists

C ∈

S

such that

C ⊆ A

1

. . .

∩ A

n

⊆↑

(

A

1

. . .

A

n

) =

K

,

K

up

C

,

K

S

h

up

i

S

.

Corollary 1

If

S

is a generalized filter base, then

T

S

= 0

F

0

F

S

.

Proof

T

S

= 0

F

⇔ ∅ ∈

up

T

S

⇔ ∅ ∈

S

h

up

i

S

⇔ ∃X ∈

S

:

∅ ∈

up

X ⇔

0

F

S

.

Obvious 1.

If

S

is a filter base on a set

A

then

A

S

is a generalized filter

base.

Definition 2

I will call

shifted filtrator

a triple

(

A

;

Z

;

)

where

A

and

Z

are

posets and

is an order embedding from

Z

to

A

.

Some concepts and notation can be defined for shifted filtrators through

similar concepts for filtrators:

h↑i

up

a

= up

(

A

;

h↑i

Z

)

a

;

h↑i

Cor

a

= Cor

(

A

;

h↑i

Z

)

a

,

etc.

For a set

A

and the set of f.o.

F

on this set we will consider the shifted

filtrator (

F

;

A

;

).

2

Partially ordered dagger categories

2.1

Partially ordered categories

Definition 3

I will call a

partially ordered (pre)category

a (pre)category

together with partial order

on each of its Hom-sets with the additional require-

ment that

f

1

f

2

g

1

g

2

g

1

f

1

g

2

f

2

for every morphisms

f

1

,

g

1

,

f

2

,

g

2

such that

Src

f

1

= Src

f

2

Dst

f

1

= Dst

f

2

=

Src

g

1

= Src

g

2

Dst

g

1

= Dst

g

2

.

5