background image

1. Let

f

is a monovalued reloid. Then

f

f

1

I

RLD

(Dst

f

)

. So exists

h

up(

f

f

1

) = up

\ n

RLD

(Dst

f

;Dst

f

)

F

F

1

|

F

up

f

o

such that

h

I

RLD

(Dst

f

)

. It’s simple to show that

F

F

1

|

F

up

f

 

is a filter base. Consequently it exists

F

up

f

such that

F

F

1

I

Dst

f

that is

F

is a function.

2. Similar.

3. Let

f

is a both monovalued and injective reloid. Then by proved above

there exist

F, G

up

f

such that

F

is monovalued and

G

is injective. Thus

F

G

up

f

is both monovalued and injective.

Conjecture 9

A reloid

f

is monovalued iff

g

RLD

(Src

f

; Dst

f

) : (

g

f

⇒ ∃A ∈

F

(Src

f

) :

g

=

f

|

A

)

.

4.6

Complete reloids and completion of reloids

Definition 52

A

complete

reloid is a reloid representable as join of direct

products

A

{

α

} ×

RLD

b

where

α

A

and

b

is an atomic f.o. on

B

for some

small sets

A

and

B

.

Definition 53

A

co-complete

reloid is a reloid representable as join of direct

products

a

×

RLD

B

{

β

}

where

β

B

and

a

is an atomic f.o. on

A

for some

small sets

A

and

B

.

I will denote the sets of complete and co-complete reloids correspondingly

as Compl

RLD

and CoCompl

RLD

.

Obvious 23.

Complete and co-complete are dual.

Theorem 55

1. A reloid

f

RLD

(

A

;

B

)

is complete iff there exists a function

G

:

A

F

(

B

)

such that

f

=

A

{

α

} ×

RLD

G

(

α

)

|

α

A

 

.

(12)

2. A reloid

f

RLD

(

A

;

B

)

is co-complete iff there exists a function

G

:

B

F

(

A

)

such that

f

=

G

(

α

)

×

RLD

B

{

α

}

|

α

B

 

.

Proof

We will prove only the first as the second is symmetric.

47