background image

Theorem 48

If

S

P

(

F

(

A

)

×

F

(

B

))

for some small sets

A

,

B

then

A ×

RLD

B

|

(

A

;

B

)

S

 

=

\

dom

S

×

RLD

\

im

S.

Proof

Let

P

=

T

dom

S

,

Q

=

T

im

S

;

l

=

A ×

RLD

B

|

(

A

;

B

)

S

 

.

P ×

RLD

Q ⊆

l

is obvious.

Let

F

up(

P ×

RLD

Q

). Then exist

P

up

P

and

Q

up

Q

such that

F

P

×

Q

.

P

=

P

1

. . .

P

n

where

P

i

∈ h

up

i

dom

S

and

Q

=

Q

1

. . .

Q

m

where

Q

j

∈ h

up

i

im

S

.

P

×

Q

=

T

i,j

(

P

i

×

Q

j

).

P

i

×

Q

j

up

A ×

RLD

B

for some (

A

;

B

)

S

.

P

×

Q

=

T

i,j

(

P

i

×

Q

j

)

up

l

.

So

F

up

l

.

Conjecture 8

If

A ∈

F

then

RLD

is a complete homomorphism from ev-

ery lattice

F

(

B

)

to the lattice

RLD

(

A

;

B

)

, if also

A 6

= 0

F

then it is an order

embedding.

Definition 47

I will call a reloid

convex

iff it is a join of direct products.

4.3

Restricting reloid to a filter object. Domain and im-
age

Definition 48

Identity reloid

for a small set

A

is defined by the formula

I

RLD

(

A

)

=

RLD

(

A

;

A

)

I

A

.

Definition 49

I call

restricting

a reloid

f

to a filter object

A

as

f

|

A

=

f

A ×

RLD

1

F

(Dst

f

)

.

Definition 50

Domain

and

image

of a reloid

f

are defined as follows:

dom

f

=

Src

f

h

dom

i

up

f

;

im

f

=

Dst

f

h

im

i

up

f.

Proposition 28

f

⊆ A ×

RLD

B ⇔

dom

f

⊆ A ∧

im

f

⊆ B

for every reloid

f

and filter objects

A ∈

F

(Src

f

)

,

B ∈

F

(Dst

f

)

.

Proof

It follows from dom(

A ×

RLD

B

)

⊆ A ∧

im(

A ×

RLD

B

)

⊆ B

.

dom

f

⊆ A ⇔ ∀

A

up

A∃

F

up

f

: dom

F

A

. Analogously

im

f

⊆ B ⇔ ∀

B

up

B∃

G

up

f

: im

G

B.

Let dom

f

⊆ A∧

im

f

⊆ B

,

A

up

A

,

B

up

B

. Then exist

F

up

f, G

up

f

such that dom

F

A

im

G

B

. Consequently

F

G

up

f

,

dom(

F

G

)

A

, im(

F

G

)

B

that is

F

G

A

×

B

. So exists

H

up

f

such that

H

A

×

B

for every

A

up

A

, B

up

B

. So

f

⊆ A ×

RLD

B

.

43