background image

By just

h

f

i

and [

f

] I will denote the corresponding function and relation on

small sets.

λx

D

:

f

(

x

) =

{

(

x

;

f

(

x

))

|

x

D

}

for every formula

f

(

x

) depended

on a variable

x

and set

D

.

I will denote the least and the greatest element of a poset

A

as 0

A

and 1

A

respectively.

For elements

a

and

b

of a lattice with a minimal element I will denote

a

b

when

a

b

is the minimal element of the lattice and

a

6≍

b

otherwise. See [15]

for a more general notion.

Proposition 1

Let

f

,

g

,

h

be binary relations. Then

g

f

6≍

h

g

6≍

h

f

1

.

Proof

g

f

6≍

h

a, c

:

a

((

g

f

)

h

)

c

a, c

: (

a

(

g

f

)

c

a h c

)

a, b, c

: (

a f b

b g c

a h c

)

b, c

:

b g c

b h

f

1

c

b, c

:

b g

h

f

1

c

g

6≍

h

f

1

.

1.2.1

Filters

In this work the word

filter

will refer to a filter on a set (in contrast to [15]

where filters are considered on arbitrary posets). Note that I do not require
filters to be proper.

I will call the set of filters on a set

A

(

base set

) ordered reverse to set-

theoretic inclusion of filters

the set of filter objects

on

A

and denote it

F

(

A

)

or just

F

when the base set is implied and call its element

filter objects

(f.o.

for short). I will denote up

F

the filter corresponding to a filter object

F

. So

we have

A ⊆ B ⇔

up

A ⊇

up

B

for every filter objects

A

and

B

on the same set.

In this particular manuscript, we will

not

equate principal filter objects with

corresponding sets as it is done in [15]. Instead we will have Base (

A

) equal to

the unique base of a f.o.

A

. I will denote

A

X

(or just

X

when

A

is implied)

the principal filter object on

A

corresponding to the set

X

.

Filters are studied in the work [15].
Every set

F

(

A

) is a complete lattice and we will apply lattice operations to

subsets of such sets without explicitly mentioning

F

(

A

).

Prior reading of [15] is needed to fully understand this work.
Filter objects corresponding to ultrafilters are atoms of the lattice

F

(

A

) and

will be called

atomic filter objects

(on

A

).

4