background image

Proof

Let denote the given funcoid as

f

.

h

f

i

(

I ∪ J

) =

h

f

i I ∪ h

f

i J ⊆ I ∪ J

,

h

f

i

T

S

T

hh

f

ii

S

T

S

. Consequently the filter objects

I ∪ J

and

T

S

are

closed.

Proposition 27

If

S

is a set of filter objects closed regarding a complete fun-

coid, then the filter object

S

S

is also closed regarding our funcoid.

Proof

h

f

i

S

S

=

S

hh

f

ii

S

S

S

where

f

is the given funcoid.

4

Reloids

Definition 41

I will call a

reloid

from a small set

A

to a small set

B

a triple

(

A

;

B

;

F

)

where

F

F

(

A

×

B

)

.

Definition 42

Source

and

destination

of every reloid

(

A

;

B

;

F

)

are defined

as

Src (

A

;

B

;

F

) =

A

and

Dst (

A

;

B

;

F

) =

B.

I will denote

RLD

(

A

;

B

)

the set of reloids from

A

to

B

.

I will denote

RLD

the set of all reloids (for small sets).

Further we will assume that all reloids in consideration are small.
Reloids are a generalization of uniform spaces. Also reloids are generalization

of binary relations (I will call a reloid (

A

;

B

;

F

)

principal

when

F

is a principal

filter on

A

×

B

.)

I will denote up (

A

;

B

;

F

) = up

F

for every reloid (

A

;

B

;

F

).

Definition 43

The

reverse

reloid of a reloid

f

is defined by the formula

(

A

;

B

;

F

)

1

=

B

;

A

;

F

1

|

F

up

f

1

 

.

Reverse reloid is a generalization of conjugate quasi-uniformity.
I will denote

RLD

(

A

;

B

)

f

=

A

;

B

;

A

×

B

f

for every small sets

A

,

B

and a

binary relation

f

A

×

B

.

The order (in fact a complete lattice) on

RLD

(

A

;

B

) is defined by the formula

(

A

;

B

;

F

)

(

A

;

B

;

G

)

F

G.

We will apply lattice operations to subsets of

RLD

(

A

;

B

) without explicitly

mentioning

RLD

(

A

;

B

).

39