background image

Corollary 13

A binary relation corresponds to a monovalued funcoid iff it is

a function.

Proof

Because

I, J

P

(im

f

) :

f

1

(

I

J

) =

f

1

I

f

1

J

is true

for a funcoid

f

corresponding to a binary relation if and only if it is a function.

Remark 5

This corollary can be reformulated as follows: For binary relations

(principal funcoids) the classic concept of monovaluedness and monovaluedness
in the above defined sense of monovaluedness of a funcoid are the same.

3.14

T

0

-,

T

1

- and

T

2

-separable funcoids

For funcoids it can be generalized

T

0

-,

T

1

- and

T

2

- separability. Worthwhile

note that

T

0

and

T

2

separability is defined through

T

1

separability.

Definition 37

Let call

T

1

-separable

such funcoid

f

that for every

α

Src

f

,

β

Dst

f

is true

α

6

=

β

⇒ ¬

(

{

α

}

[

f

]

{

β

}

)

.

Definition 38

Let call

T

0

-separable

such funcoid

f

FCD

(

A

;

A

)

that

f

f

1

is

T

1

-separable.

Definition 39

Let call

T

2

-separable

such funcoid

f

that the funcoid

f

1

f

is

T

1

-separable.

For symmetric transitive funcoids

T

1

- and

T

2

-separability are the same (see

theorem 3).

Obvious 19.

A funcoid

f

is

T

2

-separable

iff

α

6

=

β

⇒ h

f

i

{

α

} ≍ h

f

i

{

β

}

for every

α, β

Src

f

.

3.15

Filter objects closed regarding a funcoid

Definition 40

Let’s call

closed

regarding a funcoid

f

FCD

(

A

;

A

)

such filter

object

A ∈

F

(Src

f

)

that

h

f

i A ⊆ A

.

This is a generalization of closedness of a set regarding an unary operation.

Proposition 26

If

I

and

J

are closed (regarding some funcoid

f

),

S

is a set

of closed filter objects on

Src

f

, then

1.

I ∪ J

is a closed filter object;

2.

T

S

is a closed filter object.

38