background image

Proof

Let denote

R

the right part of the equality to prove.

h

R

i

{

β

}

=

S

n

f

|

Src

f

{

α

}

{

β

}

|

α

Src

f

o

=

h

f

i

{

β

}

for every

β

Src

f

and

R

is complete as a join of complete funcoids.

Thus

R

is the completion of

f

.

Conjecture 6

Compl

f

=

f

\

(Ω

×

FCD

)

for every funcoid

f

.

This conjecture may be proved by considerations similar to these in the

section “Fr´echet filter” in [15].

Lemma 2

Co-completion of a complete funcoid is complete.

Proof

Let

f

is a complete funcoid.

h

CoCompl

f

i

X

= Cor

h

f

i

X

= Cor

h

f

i

{

x

}

|

x

X

 

=

Cor

h

f

i

{

x

}

|

x

X

 

=

h

CoCompl

f

i

{

x

}

|

x

X

 

for every set

X

. Thus CoCompl

f

is com-

plete.

Theorem 40

Compl CoCompl

f

= CoCompl Compl

f

= Cor

f

for every fun-

coid

f

.

Proof

Compl CoCompl

f

is co-complete since (used the lemma) CoCompl

f

is

co-complete. Thus Compl CoCompl

f

is a principal funcoid. CoCompl

f

is the

the greatest co-complete funcoid under

f

and Compl CoCompl

f

is the greatest

complete funcoid under CoCompl

f

. So Compl CoCompl

f

is greater than any

principal funcoid under CoCompl

f

which is greater than any principal funcoid

under

f

. Thus Compl CoCompl

f

it is the greatest principal funcoid under

f

.

Thus Compl CoCompl

f

= Cor

f

. Similarly CoCompl Compl

f

= Cor

f

.

Question 16.

Is Compl

FCD

(

A

;

B

) a co-brouwerian lattice for every small sets

A

,

B

?

3.13

Monovalued and injective funcoids

Following the idea of definition of monovalued morphism let’s call

monovalued

such a funcoid

f

that

f

f

1

I

FCD

im

f

.

Similarly, I will call a funcoid

injective

when

f

1

f

I

FCD

dom

f

.

Obvious 17.

A funcoid

f

is

monovalued iff

f

f

1

I

FCD

(Dst

f

)

;

injective iff

f

1

f

I

FCD

(Src

f

)

.

In other words, a funcoid is monovalued (injective) when it is a monovalued

(injective) morphism of the category of funcoids.

Monovaluedness is dual of injectivity.

Obvious 18.

36