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Proof

First, it’s easy to see that

{

α

} ×

FCD

b

are elements of Compl

FCD

(

A

;

B

).

Also 0

FCD

(

A

;

B

)

is an element of Compl

FCD

(

A

;

B

).

A

{

α

} ×

FCD

b

are atoms of Compl

FCD

(

A

;

B

) because these are atoms of

FCD

(

A

;

B

).

It remains to prove that if

f

is an atom of Compl

FCD

(

A

;

B

) then

f

=

{

α

} ×

FCD

b

for some

α

A

and an atomic f.o.

b

on

B

.

Suppose

f

FCD

(

A

;

B

) is a non-empty complete funcoid. Then exists

α

A

such that

h

f

i

{

α

} 6

= 0

F

(

B

)

. Thus

A

{

α

} ×

FCD

b

f

for some atomic

f.o.

b

on

B

. If

f

is an atom then

f

=

A

{

α

} ×

FCD

b

.

Theorem 32

1. A funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

is complete iff there exists a function

G

:

A

F

(

B

)

such that

f

=

A

{

α

} ×

FCD

G

(

α

)

|

α

A

 

.

(11)

2. A funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

is co-complete iff there exists a function

G

:

B

F

(

A

)

such that

f

=

G

(

α

)

×

FCD

B

{

α

}

|

α

B

 

.

Proof

We will prove only the first as the second is symmetric.

Let

f

is complete. Then take

G

(

α

) =

[ n

b

atoms 1

F

(Dst

f

)

|

A

{

α

} ×

FCD

b

f

o

and we have (11) obviously.

Let (11) holds. Then

G

(

α

) =

S

atoms

G

(

α

) and thus

f

=

A

{

α

} ×

FCD

b

|

α

Src

f, b

atoms

G

(

α

)

 

and so

f

is complete.

Theorem 33

1. For a complete funcoid

f

there exists exactly one function

F

F

(Dst

f

)

Src

f

such that

f

=

Src

f

{

α

} ×

FCD

F

(

α

)

|

α

Src

f

 

.

2. For a co-complete funcoid

f

there exists exactly one function

F

F

(Src

f

)

Dst

f

such that

f

=

F

(

α

)

×

FCD

Dst

f

{

α

}

|

α

Dst

f

 

.

33