background image

(2)

(3)(4)

(5)(5)

(3)(5)

(6)

Obvious.

The following proposition shows that complete funcoids are a direct gener-

alization of pre-topological spaces.

Proposition 22

To specify a complete funcoid

f

it is enough to specify

h

f

i

on

one-element sets, values of

h

f

i

on one element sets can be specified arbitrarily.

Proof

From the above theorem is clear that knowing

h

f

i

on one-element sets

h

f

i

can be found on every set and then the value of

h

f

i

can be inferred for

every filter objects.

Choosing arbitrarily the values of

h

f

i

on one-element sets we can define

a complete funcoid the following way:

h

f

i

X

def

=

h

f

i

{

α

}

|

α

X

 

for

every

X

P

(Src

f

). Obviously it is really a complete funcoid.

Theorem 28

A funcoid is principal iff it is both complete and co-complete.

Proof

Obvious.

Let

f

is both a complete and co-complete funcoid. Consider the relation

g

defined by that

Dst

f

h

g

i {

α

}

=

h

f

i

{

α

}

(

g

is correctly defined because

f

corresponds to a generalized closure). Because

f

is a complete funcoid

f

is the funcoid corresponding to

g

.

Theorem 29

If

R

P

FCD

(

A

;

B

)

is a set of (co-)complete funcoids then

S

R

is a (co-)complete funcoid (for every small sets

A

and

B

).

Proof

It is enough to prove only for co-complete funcoids. Let

R

P

FCD

(

A

;

B

)

is a set of co-complete funcoids. Then for every

X

P

(Src

f

)

D[

R

E

X

=

h

f

i

X

|

f

R

 

is a principal f.o. (used the theorem 10).

Corollary 10

If

R

is a set of binary relations between small sets

A

and

B

then

FCD

(

A

;

B

)

R

=

FCD

(

A

;

B

)

S

R

.

Proof

From two last theorems.

Theorem 30

Filtrators of funcoids are filtered.

31