 Obvious 13.

A funcoid

f

is co-complete iff

h

f

i

=

Dst

f

α

for a generalized

closure

α

.

Remark 4

Thus funcoids can be considered as a generalization of generalized

closures. A topological space in Kuratowski sense is the same as reflexive and
transitive generalized closure. So topological spaces can be considered as a
special case of funcoids.

Definition 34

I will call a

complete funcoid

a funcoid whose reverse is co-

complete.

Theorem 27

The following conditions are equivalent for every funcoid

f

:

1. funcoid

f

is complete;

2.

S

P

F

(Src

f

)

, J

P

(Dst

f

) : (

S

S

[

f

]

Dst

f

J

⇔ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

Dst

f

J

)

;

3.

S

P P

(Src

f

)

, J

P

(Dst

f

) : (

S

S

[

f

]

J

⇔ ∃

I

S

:

I

[

f

]

J

)

;

4.

S

P

F

(Src

f

) :

h

f

i

S

S

=

S

hh

f

ii

S

;

5.

S

P P

(Src

f

) :

h

f

i

S

S

=

h

f

i

S

;

6.

A

P

(Src

f

) :

h

f

i

A

=

h

f

i

{

a

}

|

a

A

.

Proof

(3)

(1)

For every

S

P P

(Src

f

),

J

P

(Dst

f

)

Src

f

[

S

f

1

J

6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ ∃

I

S

:

Src

f

I

f

1

J

6

= 0

F

(Src

f

)

,

(10)

consequently by the theorem 53 in  we have that

f

1

J

is a principal

f.o.

(1)

(2)

For every

S

P

F

(Src

f

),

J

P

(Dst

f

) we have

f

1

J

a princi-

pal f.o., consequently

[

S

f

1

J

6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ ∃I ∈

S

:

I ∩

f

1

J

6

= 0

F

(Src

f

)

.

From this follows (2).

(6)

(5)

h

f

i

S

S

=

h

f

i

{

a

}

|

a

S

S

=

S S

h

f

i

{

a

}

|

a

A

|

A

S

=

h

f

i

A

|

A

S

=

h

f

i

S

.

(2)

(4)

Dst

f

J

6≍ h

f

i

S

S

S

S

[

f

]

Dst

f

J

⇔ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

Dst

f

J

∃I ∈

S

:

Dst

f

J

6≍ h

f

i I ⇔↑

Dst

f

J

6≍

S

hh

f

ii

S

(used the theorem 53 in

30