 8 Postface

70

8.1

Misc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

A Some counter-examples

70

A.1 Second product. Oblique product . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

1

Common

1.1

Earlier works

Some mathematicians researched generalizations of proximities and uniformities
before me but they have failed to reach the right degree of generalization which
is presented in this work allowing to represent properties of spaces with algebraic
(or categorical) formulas.

Proximity structures were introduced by Smirnov in .
Some references to predecessors:

In , , , ,  are studied generalized uniformities and proximi-
ties.

Proximities and uniformities are also studied in , , , , .

 and  contains recent progress in quasi-uniform spaces.  has a very
long list of related literature.

Some works () about proximity spaces consider relationships of proximities
and compact topological spaces. In this work the attempt to define or research
their generalization, compactness of funcoids or reloids, is not done. It seems
potentially productive to attempt to borrow the definitions and procedures from
the above mentioned works. I hope to do this study in a separate article.

 studies mappings between proximity structures. (In this work no at-

tempt to research mappings between funcoids is done.)  researches relation-
ships of quasi-uniform spaces and topological spaces.  studies how proximity
structures can be treated as uniform structures and compactification regarding
proximity and uniform spaces.

1.2

Used concepts, notation and statements

The set of functions from a set

A

to a set

B

is denoted as

B

A

.

I will often skip parentheses and write

f x

f

(

x

) to denote the result

of a function

f

acting on the argument

x

.

I will call

small

sets members of some Grothendieck universe. (Let us assume

the axiom of existence of a Grothendieck universe.)

Let

f

is a small binary relation.

I will denote

h

f

i

X

=

{

f α

|

α

X

}

and

X

[

f

]

Y

⇔ ∃

x

X, y

Y

:

x f y

for small sets

X

,

Y

.

3