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Note that distributivity of the lattice of funcoids is proved through using

atoms of this lattice. I have never seen such method of proving distributivity.

Corollary 9

The lattice

FCD

(

A

;

B

)

is co-brouwerian (for every small sets

A

and

B

).

The next proposition is one more (among the theorem 12) generalization for

funcoids of composition of relations.

Proposition 21

For every composable funcoids

f

,

g

atoms(

g

f

) =

x

×

FCD

z

|

x

atoms 1

F

(Src

f

)

, z

atoms 1

F

(Dst

g

)

,

y

atoms 1

F

(Dst

f

)

: (

x

×

FCD

y

atoms

f

y

×

FCD

z

atoms

g

)

.

Proof

(

x

×

FCD

z

)

(

g

f

)

6

= 0

x

[

g

f

]

z

⇔ ∃

y

atoms 1

F

(Dst

f

)

: (

x

[

f

]

y

y

[

g

]

z

)

⇔ ∃

y

atoms 1

F

(Dst

f

)

: ((

x

×

FCD

y

)

f

6

= 0

(

y

×

FCD

z

)

g

6

= 0) (it

was used the theorem 12).

Theorem 26

Let

f

be a funcoid.

1.

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

;

2.

h

f

iX

=

F

F

atoms

f

h

F

iX

for every

X ∈

F

(Src

f

)

.

Proof

1.

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y ⇔ ∃

a

F

(Src

f

)

, b

F

(Dst

f

) :

a

×

FCD

b

6≍

f

∧ X

[

a

×

FCD

b

]

Y

⇔ ∃

a

F

(Src

f

)

, b

F

(Dst

f

) : (

a

×

FCD

b

6≍

f

a

×

FCD

b

6≍ X ×

FCD

Y

)

⇔ ∃

F

atoms

f

: (

F

6≍

f

F

6≍ X ×

FCD

Y

)

f

6≍

X ×

FCD

Y ⇔ X

[

f

]

Y

.

2. Let

Y ∈

F

(Dst

f

). Suppose

Y 6≍ h

f

iX

. Then

X

[

f

]

Y

;

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

;

F

atoms

f

:

Y 6≍ h

F

iX

;

Y 6≍

F

F

atoms

f

h

F

iX

. So

h

f

iX ⊑

F

F

atoms

f

h

F

iX

. The contrary

h

f

iX ⊒

F

F

atoms

f

h

F

iX

is obvious.

3.11

Complete funcoids

Definition 33

I will call

co-complete

such a funcoid

f

that

h

f

i

X

is a prin-

cipal f.o. for every

X

P

(Src

f

)

.

Remark 3

I will call

generalized closure

such a function

α

P

B

P

A

(for

some small sets

A

,

B

) that

1.

α

=

;

2.

I, J

P

A

:

α

(

I

J

) =

αI

αJ

.

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