So

D\

A ×

FCD

B

|

(

A

;

B

)

S

E

x

=

T

im

S

if

x

6≍

T

dom

S

;

0

F

(

B

)

if

x

T

dom

S.

From this follows the statement of the theorem.

Corollary 6

For every

A

0

,

A

1

F

(

A

)

,

B

0

,

B

1

F

(

B

)

(for every small sets

A

,

B

)

(

A

0

×

FCD

B

0

)

(

A

1

×

FCD

B

1

) = (

A

0

∩ A

1

)

×

FCD

(

B

0

∩ B

1

)

.

Proof

(

A

0

×

FCD

B

0

)

(

A

1

×

FCD

B

1

) =

A

0

×

FCD

B

0

,

A

1

×

FCD

B

1

what is

by the last theorem equal to (

A

0

∩ A

1

)

×

FCD

(

B

0

∩ B

1

).

Theorem 21

If

A

,

B

are small sets and

A ∈

F

(

A

) then

FCD

is a complete

homomorphism from the lattice

F

(

B

)

to the lattice

FCD

(

A

;

B

)

, if also

A 6

= 0

F

(

A

)

then it is an order embedding.

Proof

Let

S

P

F

(

B

),

X

P

A

,

x

atoms 1

F

(

A

)

.

D[

FCD

S

E

X

=

[ n

A ×

FCD

B

X

| B ∈

S

o

=

S

S

if

X

A

0

F

(

B

)

if

X /

A

=

D

A ×

FCD

[

S

E

X

;

D\

FCD

S

E

x

=

A ×

FCD

B

x

| B ∈

S

=

T

S

if

x

6≍ A

0

F

(

B

)

if

x

≍ A

=

D

A ×

FCD

\

S

E

x.

Thus

FCD

S

=

A ×

FCD

S

S

and

FCD

S

=

A ×

FCD

T

S

.

If

A 6

= 0

F

(

A

)

then obviously the function

FCD

is injective.

The following proposition states that cutting a rectangle of atomic width

from a funcoid always produces a rectangular (representable as a funcoidal prod-
uct of filter objects) funcoid (of atomic width).

Proposition 19

If

f

FCD

and

a

is an atomic filter object on

Src

f

then

f

|

a

=

a

×

FCD

h

f

i

a.

Proof

Let

X ∈

F

(Src

f

).

X 6≍

a

⇒ h

f

|

a

i X

=

h

f

i

a,

X ≍

a

⇒ h

f

|

a

i X

= 0

F

(Dst

f

)

.

26