background image

Theorem 18

Let

A

,

B

,

C

be sets,

f

FCD

(

A

;

B

)

,

g

FCD

(

B

;

C

)

,

h

FCD

(

A

;

C

)

. Then

g

f

6≍

h

g

6≍

h

f

1

.

Proof

g

f

6≍

h

a

atoms 1

F

(

A

)

, c

atoms 1

F

(

C

)

:

a

[(

g

f

)

h

]

c

a

atoms 1

F

(

A

)

, c

atoms 1

F

(

C

)

: (

a

[

g

f

]

c

a

[

h

]

c

)

a

atoms 1

F

(

A

)

, b

atoms 1

F

(

B

)

, c

atoms 1

F

(

C

)

: (

a

[

f

]

b

b

[

g

]

c

a

[

h

]

c

)

b

atoms 1

F

(

B

)

, c

atoms 1

F

(

C

)

:

b

[

g

]

c

b

h

f

1

c

b

atoms 1

F

(

B

)

, c

atoms 1

F

(

C

)

:

b

g

h

f

1

c

g

6≍

h

f

1

.

3.9

Direct product of filter objects

A generalization of direct (Cartesian) product of two sets is funcoidal product
of two filter objects:

Definition 32

Funcoidal product

of filter objects

A

and

B

is such a funcoid

A ×

FCD

B ∈

FCD

(Base (

A

) ; Base (

B

))

that for every

X ∈

F

(Base (

A

))

,

Y ∈

F

(Base (

B

))

X

A ×

FCD

B

Y ⇔ X 6≍ A ∧ Y 6≍ B

.

Proposition 17

A ×

FCD

B

is really a funcoid and

A ×

FCD

B

X

=

B

if

X 6≍ A

;

0

F

(Base(

B

))

if

X ≍ A

.

Proof

Obvious.

Obvious 12.

FCD

(

U

;

V

)

(

A

×

B

) =

U

A

×

FCD

V

B

for sets

A

U

and

B

V

(for some small sets

U

and

V

).

Proposition 18

f

⊆ A ×

FCD

B ⇔

dom

f

⊆ A ∧

im

f

⊆ B

for every

f

FCD

(

A

;

B

)

and

A ∈

F

(

A

)

,

B ∈

F

(

B

)

.

Proof

If

f

⊆ A ×

FCD

B

then dom

f

dom(

A ×

FCD

B

)

⊆ A

, im

f

im(

A ×

FCD

B

)

⊆ B

. If dom

f

⊆ A ∧

im

f

⊆ B

then

∀X ∈

F

(

A

)

,

Y ∈

F

(

B

) : (

X

[

f

]

Y ⇒ X ∩ A 6

= 0

F

(

A

)

∧ Y∩B 6

= 0

F

(

B

)

);

consequently

f

⊆ A ×

FCD

B

.

The following theorem gives a formula for calculating an important particular

case of intersection on the lattice of funcoids:

24