background image

Proof

X ∩

dom

f

6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ X ∩

f

1

1

F

(Dst

f

)

6

= 0

F

(Src

f

)

1

F

(Dst

f

)

h

f

i X 6

= 0

F

(Dst

f

)

⇔ h

f

i X 6

= 0

F

(Dst

f

)

.

Corollary 2

dom

f

=

a

atoms 1

F

(Src

f

)

|

h

f

i

a

6

= 0

F

(Dst

f

)

 

.

Proof

This follows from the fact that

F

(Src

f

) is an atomistic lattice.

Proposition 15

dom

f

|

A

=

A ∩

dom

f

for every funcoid

f

and

A ∈

F

(Src

f

)

.

Proof

dom

f

|

A

= im

I

FCD

A

f

1

=

I

FCD

A

 

f

1

1

(Dst

f

)

=

A∩

f

1

1

(Dst

f

)

=

A ∩

dom

f

.

Theorem 14

im

f

=

Dst

f

h

im

i

up

f

and

dom

f

=

Src

f

h

dom

i

up

f

for every funcoid

f

.

Proof

im

f

=

h

f

i

1

F

(Src

f

)

=

FCD

(Src

f

;Dst

f

)

F

1

F

(Src

f

)

|

F

up

f

 

=

Dst

f

im

F

|

F

up

f

 

=

Dst

f

h

im

i

up

f

(used the theorem 9).

The second formula follows from symmetry.

Proposition 16

For every composable funcoids

f

,

g

:

1. If

im

f

dom

g

then

im (

g

f

) = im

g

.

2. If

im

f

dom

g

then

dom (

g

f

) = dom

f

.

Proof

1. im (

g

f

) =

h

g

f

i

1

F

(Src

f

)

=

h

g

i h

f

i

1

F

(Src

f

)

=

h

g

i

im

f

=

h

g

i

(im

f

dom

g

) =

h

g

i

dom

g

=

h

g

i

1

F

(Src

g

)

= im

g

.

2. dom (

g

f

) = im

f

1

g

1

what by proved above is equal to im

f

1

that

is dom

f

.

3.7

Categories of funcoids

I will define two categories, the

category of funcoids

and the

category of

funcoid triples

.

The

category of funcoids

is defined as follows:

Objects are small sets.

The set of morphisms from a set

A

to a set

B

is

FCD

(

A

;

B

).

The composition is the composition of funcoids.

Identity morphism for a set is the identity funcoid for that set.

20