background image

3 Funcoids

8

3.1

Informal introduction into funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2

Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2.1

Composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.3

Funcoid as continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.4

Lattices of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.5

More on composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.6

Domain and range of a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.7

Categories of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.8

Specifying funcoids by functions or relations on atomic filter objects 21

3.9

Direct product of filter objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.10 Atomic funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.11 Complete funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.12 Completion of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.13 Monovalued and injective funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.14

T

0

-,

T

1

- and

T

2

-separable funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.15 Filter objects closed regarding a funcoid . . . . . . . . . . . . . .

38

4 Reloids

39

4.1

Composition of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2

Direct product of filter objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3

Restricting reloid to a filter object. Domain and image . . . . . .

43

4.4

Categories of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.5

Monovalued and injective reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.6

Complete reloids and completion of reloids . . . . . . . . . . . . .

47

5 Relationships between funcoids and reloids

51

5.1

Funcoid induced by a reloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2

Reloids induced by funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.3

Galois connections of funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . .

58

6 Continuous morphisms

59

6.1

Traditional definitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.1.1

Pre-topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.1.2

Proximity spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.1.3

Uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.2

Our three definitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3

Continuity of a restricted morphism . . . . . . . . . . . . . . . .

62

7 Connectedness regarding funcoids and reloids

63

7.1

Some lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

7.2

Endomorphism series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

7.3

Connectedness regarding binary relations . . . . . . . . . . . . .

65

7.4

Connectedness regarding funcoids and reloids . . . . . . . . . . .

67

7.5

Algebraic properties of

S

and

S

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2