background image

3.6

Domain and range of a funcoid

Definition 28

Let

A

be a small set. The

identity funcoid

I

FCD

(

A

)

=

A

;

A

; (=)

|

F

(

A

)

; (=)

|

F

(

A

)

.

Obvious 9.

The identity funcoid is a funcoid.

Definition 29

Let

A

be a small set,

A ∈

F

(

A

)

. The

restricted identity

funcoid

I

FCD

A

= (

A

;

A

;

A∩

;

A∩

)

.

Proposition 12

The restricted identity funcoid is a funcoid.

Proof

We need to prove that (

A ∩ X

)

∩ Y 6

= 0

F

(

A

)

(

A ∩ Y

)

∩ X 6

= 0

F

(

A

)

what is obvious.

Obvious 10.

1.

I

FCD

(

A

)

1

=

I

FCD

(

A

)

;

2.

I

FCD

A

1

=

I

FCD

A

.

Obvious 11.

For every

X

,

Y ∈

F

(

A

)

1.

X

I

FCD

(

A

)

Y ⇔ X ∩ Y 6

= 0

F

(

A

)

.

2.

X

I

FCD

A

Y ⇔ A ∩ X ∩ Y 6

= 0

F

(

A

)

.

Definition 30

I will define

restricting

of a funcoid

f

to a filter object

A ∈

F

(Src

f

)

by the formula

f

|

A

def

=

f

I

FCD

A

.

Definition 31

Image

of a funcoid

f

will be defined by the formula

im

f

=

h

f

i

1

F

(Src

f

)

.

Domain

of a funcoid

f

is defined by the formula

dom

f

= im

f

1

.

Proposition 13

h

f

i X

=

h

f

i

(

X ∩

dom

f

)

for every

f

FCD

,

X ∈

F

(Src

f

)

.

Proof

For every

Y ∈

F

(Dst

f

) we have

Y ∩ h

f

i

(

X ∩

dom

f

)

6

= 0

F

(Dst

f

)

X ∩

dom

f

f

1

Y 6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ X ∩

im

f

1

f

1

Y 6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ X ∩

f

1

Y 6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ Y ∩ h

f

i X 6

= 0

F

(Dst

f

)

. Thus

h

f

i X

=

h

f

i

(

X ∩

dom

f

)

because the lattice of filter objects is separable.

Proposition 14

X ∩

dom

f

6

= 0

F

(Src

f

)

⇔ h

f

i X 6

= 0

F

(Dst

f

)

for every

f

FCD

,

X ∈

F

(Src

f

)

.

19