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That is the formulas (3) are true.
Accordingly the above there exists a funcoid

f

such that

X

[

f

]

Y ⇔ ∀

X

up

X

, Y

up

Y

:

X δ Y.

X

P

A, Y

P

B

:

B

Y

∩ h

f

i ↑

A

X

6

= 0

F

(

B

)

⇔↑

A

X

[

f

]

B

Y

X δ Y

⇔↑

B

Y

αX

6

= 0

F

(

B

)

,

consequently

X

P

A

:

αX

=

h

f

i ↑

A

X

=

h

f

i

X

.

Note that by the last theorem to every proximity

δ

corresponds a unique

funcoid. So funcoids are a generalization of (quasi-)proximity structures.

Reverse funcoids can be considered as a generalization of conjugate quasi-

proximity.

Definition 24

Any small (multivalued) function

F

:

A

B

corresponds to

a funcoid

FCD

(

A

;

B

)

F

FCD

(

A

;

B

)

, where by definition

FCD

(

A

;

B

)

F

X

=

B

hh

F

ii

up

X

for every

X ∈

F

(

A

)

.

Using the last theorem it is easy to show that this definition is monovalued

and does not contradict to former stuff. (Take

α

=

B

◦ h

F

i

.)

Definition 25

Funcoids corresponding to a binary relation (= multivalued func-

tion) are called

principal funcoids

.

We may equate principal funcoids with corresponding binary relations by

the method of appendix B in [15]. This is useful for describing relationships of
funcoids and binary relations, such as for the formulas of continuous functions
and continuous funcoids (see below).

Theorem 8

If

S

is a generalized filter base on

Src

f

then

h

f

i

T

S

=

T

hh

f

ii

S

for every funcoid

f

.

Proof

h

f

i

T

S

⊆ h

f

i

X

for every

X

S

and thus

h

f

i

T

S

T

hh

f

ii

S

.

By properties of generalized filter bases:

h

f

i

T

S

=

h

f

i

up

T

S

=

h

f

i

{

X

| ∃P ∈

S

:

X

up

P}

=

h

f

i

X

| ∃P ∈

S

:

X

up

P

 

T

{h

f

i P

| P ∈

S

}

=

T

hh

f

ii

S

.

3.4

Lattices of funcoids

Definition 26

f

g

def

= [

f

]

[

g

]

for

f, g

FCD

.

Thus every

FCD

(

A

;

B

) is a poset. (It’s taken into account that [

f

]

6

=[

g

] if

f

6

=

g

.)

Definition 27

I will call a

shifted filtrator of funcoids

the shifted filtrator

(

FCD

(

A

;

B

) ;

P

(

A

×

B

) ;

FCD

(

A

;

B

)

)

for some small sets

A

,

B

.

up

f

def

= up

FCD

(

A

;

B

) ;

P

(

A

×

B

) ;

FCD

(

A

;

B

)

f

for every funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

.

15