background image

Funcoids and Reloids:

a Generalization of Proximities and Uniformities

Victor Porton

September 11, 2013

Abstract

It is a part of my Algebraic General Topology research.
In this article, I introduce the concepts of

funcoids

, which general-

ize proximity spaces and

reloids

, which generalize uniform spaces. The

concept of a funcoid is a generalized concept of proximity, the concept of
a reloid is the concept of uniformity cleared (generalized) from superflu-
ous details. Also funcoids generalize pretopologies and preclosures. Also
funcoids and reloids are generalizations of binary relations whose domains
and ranges are filters (instead of sets).

Also funcoids and reloids can be considered as a generalization of (di-

rected) graphs, this provides us a common generalization of analysis and
discrete mathematics.

The concept of continuity is defined by an algebraic formula (instead

of the old messy epsilon-delta notation) for arbitrary morphisms (includ-
ing funcoids and reloids) of a partially ordered category. In one formula
continuity, proximity continuity, and uniform continuity are generalized.

Contents

1 Common

3

1.1

Earlier works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Used concepts, notation and statements . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Partially ordered dagger categories

5

2.1

Partially ordered categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Dagger categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1

Some special classes of morphisms . . . . . . . . . . . . .

7

Keywords:

algebraic general topology, quasi-uniform spaces, generalizations of proximity

spaces, generalizations of nearness spaces, generalizations of uniform spaces;

A.M.S. subject

classification:

54J05, 54A05, 54D99, 54E05, 54E15, 54E17, 54E99

1