 Proof.

Join

(

P ; h

)(

f

)(

x

) = (

h

f

)(

x

) =

hfx

w

h

0

fx

= (

h

0

f

)(

x

) =

Join

(

P ; h

0

)(

f

)(

x

)

.

Lemma 26.

If

g

:

Q

!

R

and

h

:

R

!

S

are nite joins preserving, then the composition Join

(

P

;

h

)

Join

(

P

;

g

)

is equal to Join

(

P

;

h

g

)

. Also Join

(

P

;

id

Q

)

for identity map id

Q

on

Q

is the identity

map id

Join

(

P

;

Q

)

on Join

(

P

;

Q

)

.

Proof.

Join

(

P

;

h

)

Join

(

P

;

g

)

f

=

Join

(

P

;

h

)(

g

f

) =

h

g

f

=

Join

(

P

;

h

g

)

f

.

Join

(

P

;

id

Q

)

f

=

id

Q

f

=

f

.

Corollary 27.

If

Q

is a join-semilattice and

F

:

Q

!

Q

is a co-nucleus, then for any join-semilattice

P

we have that Join

(

P

;

F

):

Join

(

P

;

Q

)

!

Join

(

P

;

Q

)

is also a co-nucleus.

Proof.

From id

Q

w

F

(co-nucleus axiom

1

we have Join

(

P

;

id

Q

)

w

Join

(

P

;

F

)

and since by the last

lemma the left side is the identity on Join

(

P

;

Q

)

, we see that Join

(

P

;

F

)

also satises co-nucleus

axiom

1

.

Join

(

P

;

F

)

Join

(

P

;

F

) =

Join

(

P

;

F

F

)

by the same lemma and thus Join

(

P

;

F

)

Join

(

P

;

F

) =

Join

(

P

;

F

)

by the second co-nucleus axiom for

F

, showing that Join

(

P

;

F

)

satises the second

co-nucleus axiom.

By an other lemma, we have that Join

(

P

;

F

)

preserves nite joins, given that

F

preserves nite

joins, which is the third co-nucleus axiom.

Lemma 28.

Fix

(

Join

(

P

;

F

)) =

Join

(

P

;

Fix

(

F

))

for every join-semilattices

P

,

Q

and a join

preserving function

F

:

Q

!

Q

.

Proof.

a

2

Fix

(

Join

(

P

;

F

))

,

a

2

F

P

^

F

a

=

a

,

a

2

F

P

^ 8

x

2

P

:

F

(

a

(

x

)) =

a

(

x

)

.

a

2

Join

(

P

;

Fix

(

F

))

,

a

2

Fix

(

F

)

P

,

a

2

F

P

^ 8

x

2

P

:

F

(

a

(

x

)) =

a

(

x

)

.

Thus Fix

(

Join

(

P

;

F

)) =

Join

(

P

;

Fix

(

F

))

. That the order of the left and right sides of the equality

agrees is obvious.

Denition 29. Pos

(

A

;

B

)

is the pointwise ordered poset of monotone maps from a poset

A

to a

poset

B

.

Lemma 30.

If

Q

,

R

are join-semilattices and

P

is a poset, then

Pos

(

P

;

R

)

is a join-semilattice and

Pos

(

P

;

Join

(

Q

;

R

))

is isomorphic to Join

(

Q

;

Pos

(

P

;

R

))

. If

R

is a co-frame, then also

Pos

(

P

;

R

)

is a co-frame.

Proof.

Let

f ; g

2

Pos

(

P

;

R

)

. Then

x

2

P

: (

fx

t

gx

)

is obviously monotone and then it is evident

that

f

t

Pos

(

P

;

R

)

g

=

x

2

P

: (

fx

t

gx

)

.

x

2

P

:

?

R

is also obviously monotone and it is evident

that

?

Pos

(

P

;

R

)

=

x

2

P

:

?

R

.

Obviously both

Pos

(

P

;

Join

(

Q

;

R

))

and Join

(

Q

;

Pos

(

P

;

R

))

are sets of order preserving maps.

Let

f

be a monotone map.

f

2

Pos

(

P

;

Join

(

Q

;

R

))

i

f

2

Join

(

Q

;

R

)

P

i

f

2 f

g

2

R

Q

j

g

preserves nite joins

g

P

i

f

2

(

R

Q

)

P

and every

g

=

f

(

x

)

(for

x

2

P

) preserving nite joins. This is bijectively equivalent (

f

7!

f

0

) to

f

0

2

(

R

P

)

Q

preserving nite joins.

f

0

2

Join

(

Q

;

Pos

(

P

;

R

))

i

f

0

preserves nite joins and

f

0

2

Pos

(

P

;

R

)

Q

i

f

0

preserves nite joins

and

f

0

2 f

g

2

(

R

P

)

Q

j

g

(

x

)

is monotone

g

i

f

0

preserves nite joins and

f

0

2

(

R

P

)

Q

.

So we have proved that

f

7!

f

0

is a bijection between

Pos

(

P

;

Join

(

Q

;

R

))

and Join

(

Q

;

Pos

(

P

;

R

))

.

That it preserves order is obvious.

5