 (

.

Suppose

d

:

Up

(

A

)

!

A

preserves nite joins. Let

b

2

A

,

S

2

P

A

. Let

D

be the smallest

upper set containing

S

(so

D

=

S

h"i

S

). We have

d

D

=

S

S

. So

b

t

l

S

=

l

"

b

t

[

l

h"i

S

=

l

"

b

t

l

[

h"i

S

=

(since

l

preserves nite joins)

l

¡

"

b

t

[

h"i

S

=

[ ¡

"

b

\

[

h"i

S

=

l

[

a

2

S

(

"

b

\ "

a

) =

l

[

a

2

S

"

(

b

t

a

) =

(since

l

preserves all meets)

[

a

2

S

l

"

(

b

t

a

) =

[

a

2

S

(

b

t

a

) =

l

a

2

S

(

b

t

a

)

:

Corollary 20.

If

A

is a co-frame, then the composition

F

=

d

:

Up

(

A

)

!

Up

(

A

)

is a co-nucleus.

The embedding

"

:

A

!

Up

(

A

)

is an isomorphism of

A

onto the co-frame Fix

(

F

)

.

Proof.

D

w

F

(

D

)

follows from theorem

16

.

We have

F

(

F

(

D

)) =

F

(

D

)

for all

D

2

Up

(

A

)

since

F

(

F

(

D

)) =

"

d

"

d

D

=

(because

d

"

s

=

s

for

any

s

)

=

"

d

D

=

F

(

D

)

.

And since both

d

:

Up

(

A

)

!

A

and

"

preserve nite joins,

F

preserves nite joins. Thus

F

is a co-

nucleus.

Finally, we have

a

w

a

0

if and only if

"

a

"

a

0

, so that

"

:

A

!

Up

(

A

)

maps

A

isomorphically onto its

image

h"i

A

. This image is Fix

(

F

)

because if

D

is any xed point (i.e. if

D

=

"

d

D

), then

D

clearly

belongs to

h"i

A

; and conversely

"

a

is always a xed point of

F

=

"

d

since

F

(

"

a

) =

"

d

"

a

=

"

a

.

Denition 21.

If

A

,

B

are two join-semilattices, then Join

(

A

;

B

)

is the (ordered pointwise) set

of nite joins preserving maps

A

!

B

.

Obvious 22.

Join

(

A

;

B

)

is a join-semilattice, where

f

t

g

is given by the formula

(

f

t

g

)(

p

) =

f

(

p

)

t

g

(

p

)

,

?

Join

(

A

;

B

)

is given by the formula

?

Join

(

A

;

B

)

(

p

) =

?

B

.

Denition 23.

Let

h

:

Q

!

R

be a nite joins preserving map. Then by denition Join

(

P ; h

):

Join

(

P

;

Q

)

!

Join

(

P

;

R

)

takes

f

2

Join

(

P

;

Q

)

into the composition

h

f

2

Join

(

P

;

R

)

.

Lemma 24.

Above dened Join

(

P ; h

)

is a nite joins preserving map.

Proof.

(

h

(

f

t

f

0

))

x

=

h

(

f

t

f

0

)

x

=

h

(

f x

t

f

0

x

) =

h f x

t

h f

0

x

= (

h

f

)

x

t

(

h

f

0

)

x

=

((

h

f

)

t

(

h

f

0

))

x

. Thus

h

(

f

t

f

0

) = (

h

f

)

t

(

h

f

0

)

.

¡

h

?

Join

(

A

;

B

)

x

=

h

?

Join

(

A

;

B

)

x

=

h

?

B

=

?

A

.

Proposition 25.

If

h; h

0

:

Q

!

R

are nite join preserving maps and

h

w

h

0

, then Join

(

P ;

h

)

w

Join

(

P ; h

0

)

.

4