 Obvious 12.

Fix

(

F

)

with induced order is a complete lattice.

Lemma 13.

If

F

is a co-nucleus on a co-frame

A

, then the poset Fix

(

F

)

of xed points of

F

, with

order inherited from

A

, is also a co-frame.

Proof.

Let

b

2

Fix

(

F

)

,

S

2

P

Fix

(

F

)

. Then

b

t

Fix

(

F

)

l

Fix

(

F

)

S

=

b

t

Fix

(

F

)

F

¡

l

S

=

F

(

b

)

t

F

¡

l

S

=

F

¡

b

t

l

S

=

F

¡

l

h

b

t i

S

=

l

Fix

(

F

)

h

b

t i

S

=

l

Fix

(

F

)

b

t

Fix

(

F

)

S:

Denition 14.

Upper set

is a set

X

on a poset

A

such that

x

2

X

^

y

w

x

)

y

2

X

for every

y

2

A

.

Denote Up

(

A

)

the set of upper sets on

A

ordered

reverse

to set theoretic inclusion.

[TODO: move

it above in the book]

Lemma 15.

The set Up

(

A

)

is closed under arbitrary meets and joins.

Proof.

Let

S

2

P

Up

(

A

)

.

Let

X

2

S

S

and

Y

w

X

for an

Y

2

A

. Then there is

P

2

S

such that

X

2

P

and thus

Y

2

P

and

so

Y

2

S

S

. So

S

S

2

Up

(

A

)

.

Let now

X

2

T

S

and

Y

w

X

for an

Y

2

A

. Then

8

T

2

S

:

X

2

T

and so

8

T

2

S

:

Y

2

T

, thus

Y

2

T

S

.

So

T

S

2

Up

(

A

)

.

Theorem 16.

A poset

A

is a complete lattice i there is a antitone map

s

:

Up

(

A

)

!

A

such that

[TODO: dene

antitone

.]

1.

s

(

"

p

) =

p

for every

p

2

A

;

2.

D

"

s

(

D

)

for every

D

2

Up

(

A

)

.

Moreover, in this case

s

(

D

) =

d

D

for every

D

2

Up

(

A

)

.

Proof.

)

.

Take

s

(

D

) =

d

D

.

(

.

8

x

2

D

:

x

w

s

(

D

)

from the second formula.

Let

8

x

2

D

:

y

v

x

. Then

x

2 "

y

,

D

"

y

; because

s

is an antitone map, thus follows

s

(

D

)

w

s

(

"

y

) =

y

. So

8

x

2

D

:

y

v

s

(

D

)

.

That

s

is the meet follows from the denition of meets.

It remains to prove that

A

is a complete lattice.

2