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In this chapter the term

join-semilattice

means join-semilattice with least element

?

.

Denition 1.

A

co-frame

is the same as a complete co-brouwerian lattice.

[TODO: move it above

in the book and use it when appropriate]

Denition 2.

It is said that a function

f

from a poset

A

to a poset

B

preserves nite joins

, when

for every nite set

S

2

P

A

such that

F

A

S

exists we have

F

B

h

f

i

S

=

f

F

A

S

.

Obvious 3.

A function between join-semilattices preserves nite joins i it preserves binary joins

(

f

(

x

t

y

) =

fx

t

fy

) and nullary joins (

f

(

?

A

) =

?

B

).

Denition 4.

A

xed point

of a function

F

is such

x

that

F

(

x

) =

x

. We will denote Fix

(

F

)

the

set of all xed points of a function

F

.

Remark 5.

This is based on a Todd Trimble's proof. A shorter but less elementary proof (also

by Todd Trimble) is available at

http://ncatlab.org/toddtrimble/published/topogeny

Denition 6.

Let

A

be a join-semilattice. A

co-nucleus

is a function

F

:

A

!

A

such that for every

p; q

2

A

we have:

1.

F

(

p

)

v

p

;

2.

F

(

F

(

p

)) =

F

(

p

)

;

3.

F

(

p

t

q

) =

F

(

p

)

t

F

(

q

)

.

Proposition 7.

Every co-nucleus is a monotone function.

Proof.

It follows from

F

(

p

t

q

) =

F

(

p

)

t

F

(

q

)

.

Lemma 8.

F

Fix

(

F

)

S

=

F

S

for every

S

2

P

Fix

(

F

)

for every co-nucleus

F

.

Proof.

Obviously

F

S

w

x

for every

x

2

S

.

Suppose

z

w

x

for every

x

2

S

for a

z

2

Fix

(

F

)

. Then

z

w

F

S

.

F

(

F

S

)

w

F

(

x

)

for every

x

2

S

. Thus

F

(

F

S

)

w

F

x

2

S

F

(

x

) =

F

S

. But

F

(

F

S

)

v

F

S

. Thus

F

(

F

S

) =

F

S

that is

F

S

2

Fix

(

F

)

.

So

F

Fix

(

F

)

S

=

F

S

by the denition of join.

Corollary 9.

F

Fix

(

F

)

S

is dened for every

x; y

2

Fix

(

F

)

.

Lemma 10.

d

Fix

(

F

)

S

=

F

(

d

S

)

for every

S

2

P

Fix

(

F

)

for every co-nucleus

F

.

Proof.

Obviously

F

(

d

S

)

v

x

for every

x

2

S

.

Suppose

z

v

x

for every

x

2

S

for a

z

2

Fix

(

F

)

. Then

z

v

d

S

and thus

z

v

F

(

d

S

)

.

So

d

Fix

(

F

)

S

=

F

(

d

S

)

by the denition of meet.

Corollary 11.

d

Fix

(

F

)

S

is dened for every

x; y

2

Fix

(

F

)

.

1